Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ôn tập Toán 9

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.

Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải kèm theo một số ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1.

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

Trong đó x, y là ẩn số, các chữ số a, b, h, k, c, d là các hệ số

- Nếu cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ phương trình (*) thì ta gọi (x₀; y₀) là nghiệm của hệ phương trình (*)

- Giải hệ phương trình (*) ta tìm được tập nghiệm của nó

2. Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bước 1: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình theo ẩn m.

Bước 2: Biện luận chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Bước 3: Kết luận.

3. Bài tập tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)² với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)²)

2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)² = -m² + 4m – 1 = 3 – (m – 2)² ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình với m = 1

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

Thay m = 1 vào hệ phương trình ta được:

Vậy khi m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; -2)

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu m = 0 hệ phương trình trở thành

Vậy với m = 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Trường hợp 2: Nếu m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (luôn đúng, vì m² ≥ 0 với mọi m)

Do đó, với m ≠ 0 hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Vậy hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình với m là tham số

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

Hướng dẫn giải

a) Học sinh tự giải hệ phương trình.

b) Xét hệ

Từ (2) suy ra y = 2m – mx thay vào (1) ta được

x + m(2m – mx) = m + 1

<=> 2m² – m²x + x = m + 1

<=> (1 – m²)x = -2m² + m + 1

<=> (m² – 1)x = 2m² – m – 1 (3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

<=> (3) có nghiệm duy nhất

m² – 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1 (*)

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là