Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77)

Giải Toán lớp 9 trang 76, 77 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và 8 bài tập trong SGK bài 2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn thuộc Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải Toán 9 Bài 2 tập 1 Tỉ số lượng giác của góc nhọn được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 76, 77 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trả lời câu hỏi trang 71, 73, 74 SGK Toán 9 tập 1
Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1
Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập
Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trả lời câu hỏi trang 71, 73, 74 SGK Toán 9 tập 1

Câu hỏi 1

Xét tam giác ABC vuông tại A có ∠B = α. Chứng minh rằng

a. $\alpha = {45^0} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = 1$

b. $\alpha = {60^0} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 3$

Gợi ý đáp án

Tam giác ABC vuông tại A có ∠B = 45⁰ ⇒ΔABC vuông cân tại A

⇒AB = AC ⇒AB/AC = 1

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

⇒ AD = BD = BC/2

Tam giác ABD có: AD = BD, ∠(ABD) = 60⁰

⇒ ΔABD là tam giác đều

⇒ AB = AD = BC/2 ⇒ BC = AB

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

AB² + AC² = BC²

⇔ AB² + AC² = 4 AB²

⇔ AC² = 3 AB² ⇔ AC = √3 AB

⇔ AC/AB = √3

Câu hỏi 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có ∠C = β. Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc β

Gợi ý đáp án

$\begin{matrix} \sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}} \hfill \\ \cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}} \hfill \\ \tan \alpha = \dfrac{{AB}}{{AC}} \hfill \\ \cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{AB}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu hỏi 3

Hãy nêu cách dựng góc nhọn β theo hình 18 và chứng minh cách dựng đó là đúng.

Gợi ý đáp án

- Dựng đoạn OM trên trục Oy sao cho OM = 1

- Dựng đường tròn tâm M bán kính bằng 2, đường tròn giao với tia Ox tại N

- Khi đó góc MNO là góc cần dựng

Chứng minh:

Tam giác MON vuông tại O có: MO = 1; MN = 2

Khi đó:

sinβ = sin(MNO) = MO/MN = 1/2 = 0,5

Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1

Bài 10

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34^o.

Gợi ý đáp án

ΔABC vuông tại A có góc C = 34^o.

Khi đó:

Tỉ số lượng giác của góc $\widehat{B}=34^o$ là:

$\sin 34^o=\sin B=\dfrac{AC}{BC}$

$\cos 34^o=\cos B=\dfrac{AB}{BC}$

$\tan 34^o=\tan B=\dfrac{AC}{AB}$

$\cot 34^o=\tan C=\dfrac{AB}{AC}$

Bài 11

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Gợi ý đáp án

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại C, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$AB^2=CB^2+AC^2$

$\Leftrightarrow AB^2=0,9^2+1,2^2 \Leftrightarrow AB^2=0,81+1,44=2,25$

$\Leftrightarrow AB=\sqrt{2,25}=1,5m$

Vì $\Delta{ABC}$ vuông tại C nên góc B và A là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

$\sin A=\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1,2}{1,5}=\dfrac{4}{5}$

$\cos A=\sin B=\dfrac{AC}{AB} =\dfrac{0,9}{1,5}=\dfrac{3}{5}$

$\tan A=\cot B=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1,2}{0,9}=\dfrac{4}{3}$

$\cot A=\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{0,9}{1,2}=\dfrac{3}{4}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

Bài 12

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o: sin60^o, cos75^o, sin52^o30', cotg82^o, tg80^o

Gợi ý đáp án

(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)

Vì 60^o + 30^o = 90^o nên sin60^o = cos30^o

Vì 75^o + 15^o = 90^o nên cos75^o = sin15^o

Vì 52^o30' + 37^o30' = 90^o nên sin 52^o30'= cos37^o30'

Vì 82^o + 8^o = 90^o nên cotg82^o = tg8^o

Vì 80^o + 10^o = 90^o nên tg80^o = cotg10^o

Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13

Gợi ý đáp án

Dựng góc nhọn $\alpha$ , biết:

$a. \sin\alpha =\dfrac{2}{3}$

Ta thực hiện các bước sau:

- Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho: OA=2.

- Dùng compa dựng cung tròn tâm A, bán kính 3. Cung tròn này cắt Oy tại điểm B.

- Nối A với B. Góc OBA là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha = \sin \widehat{OBA} = \dfrac{OA}{AB}=\dfrac{2}{3}.$

b. $\cos\alpha =0,6$

Ta có: $\cos \alpha =0,6 = \dfrac{3}{5}$

- Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho OA=3.

- Dùng compa dựng cung tròn tâm A bán kính 5. Cung tròn này cắt tia Oy tại B.

- Nối A với B. Góc $\widehat{OAB}=\alpha$ là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét $\Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\cos \alpha =\cos \widehat{OAB}=\dfrac{OA}{AB}=\dfrac{3}{5}=0,6.$

$c. \tan \alpha =\dfrac{3}{4}$

- Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=4.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3.

- Nối A với B. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\tan \alpha =\tan \widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{3}{4}.$

$d. \cot \alpha =\dfrac{3}{2}$

- Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

- Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=2.

- Nối A với B. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\widehat{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\cot \alpha =\cot \widehat{OAB}=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{3}{2}.$

Bài 14

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha$ tùy ý, ta có:

a) $\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha}; \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }; \tan \alpha . \cot \alpha =1;$

$b) \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$

Gợi ý đáp án

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại A, có $\widehat{ACB}=\alpha.$

+) $\Delta{ABC},$ vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}, \cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}$

$\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}, \cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}.$

* Chứng minh $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$

$VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}$

$=\dfrac{AB.BC}{BC.AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT$

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh $\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$

$VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}$

$=\dfrac{AC.BC}{BC.AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT$

* Chứng minh $\tan \alpha . \cot \alpha =1.$

Ta có: $VT=\tan \alpha . \cot \alpha$

$= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP$

b) $\Delta{ABC}$ vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:

$BC^2=AC^2+AB^2 (1)$

Xét $\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha$

$\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}$

$\;\;\;=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2} (2)$

Thay (1) vào (2) ta được:

$\displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} \over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1$

Như vậy $\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$ (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

$\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }; \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ và $\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Bài 15

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Biết $\cos B = 0, 8$ , hãy tính các tỉ số lượng giác của góc $C$ .

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế:

$\sin C>0; \cos C>0; \tan C>0; \cot C>0$

Vì hai góc B và C phụ nhau $\Rightarrow \sin C = \cos B = 0,8$

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

$\sin^{2}C+\cos^{2}C=1 \Leftrightarrow \cos^{2}C=1-\sin^{2}C$

$\Leftrightarrow \cos^2 C =1-(0,8)^{2} \Leftrightarrow \cos^2 C =0,36 \Rightarrow \cos C = \sqrt{0,36}=0,6$

Lại có:

$\tan C=\dfrac{\sin C}{\cos C}=\dfrac{0,8}{0,6}=\dfrac{4}{3};$

$\tan C .\cot C=1 \Leftrightarrow \cot C= \dfrac{1}{\tan C}=\dfrac{3}{4}$

Nhận xét: Nếu biết $\sin \alpha (hay \cos \alpha)$ thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Bài 16

Cho tam giác vuông có một góc 60^o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60^o.

Gợi ý đáp án

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại A có $\widehat B=60^0$ , theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin B = \dfrac{AC}{BC} \Leftrightarrow \sin 60^o = \dfrac{AC}{8}$

$\Leftrightarrow AC =8. \sin 60^o=8.\dfrac{\sqrt 3}{2}=4\sqrt 3.$

Vậy cạnh đối diện với góc $60^o$ là $AC=4\sqrt 3.$

Bài 17

Tìm x trong hình 23.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu như hình trên.

Ta có tam giác ABH là vuông cân (vì ∠B = 45^o) nên AH = 20.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:

x² = AH² + HC² = 20² + 21² = 841

=> x = √841 = 29

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa Tỉ số lượng giác của góc nhọn

$\sin \alpha = \dfrac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}} = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$

$\tan \alpha = \dfrac{{cạnh\, đối}}{{cạnh\,kề}} = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính Tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các Tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2: Với góc nhọn $\alpha ,\,\beta$ ta có: $\sin \alpha < \sin \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta ;\cos \alpha < \cos \beta \Leftrightarrow \alpha > \beta ;$