Giải Toán 9: Ôn tập Chương I Giải SGK Toán 9 Tập 1 (trang 40, 41)

Giải Toán lớp 9 trang 40, 41 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các bài tập trong SGK Bài Ôn tập Chương I: Căn bậc hai, căn bậc 3.

Giải Toán 9 Ôn tập Chương I: Căn bậc hai, căn bậc 3 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 40, 41 tập 1 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 9: Ôn tập Chương I

Giải Toán 9: Ôn tập Chương I trang 40, 41
Lý thuyết Căn bậc hai. Căn bậc ba

Giải Toán 9: Ôn tập Chương I trang 40, 41

Bài 70 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp

$\displaystyle a)\sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}}$

$\displaystyle b)\sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}.2{{34} \over {81}}}$

$\displaystyle c){{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} } \over {\sqrt {567} }}$

$d)\sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}}$

Gợi ý đáp án

$\eqalign{ & \sqrt {{{25} \over {81}}.{{16} \over {49}}.{{196} \over 9}} \cr & = \sqrt {{{25} \over {81}}} .\sqrt {{{16} \over {49}}} .\sqrt {{{196} \over 9}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2}}\cr & = {5 \over 9}.{4 \over 7}.{{14} \over 3} = {{40} \over {27}} \cr}$

$\eqalign{ & \sqrt {3{1 \over {16}}.2{{14} \over {25}}2{{34} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{49} \over {16}}.{{64} \over {25}}.{{196} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{49} \over {16}}} .\sqrt {{{64} \over {25}}} .\sqrt {{{196} \over {81}}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{8}{5}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{9}} \right)}^2}}\cr & = {7 \over 4}.{8 \over 5}.{{14} \over 9} = {{196} \over {45}} \cr}$

$\begin{array}{l} \dfrac{{\sqrt {640} .\sqrt {34,3} }}{{\sqrt {567} }} = \sqrt {\dfrac{{640.34,3}}{{567}}} = \sqrt {\dfrac{{64.343}}{{567}}}\\ = \sqrt {\dfrac{{64.49.7}}{{81.7}}} = \sqrt {\dfrac{{64.49}}{{81}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {64} .\sqrt {49} }}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{8.7}}{9} = \dfrac{{56}}{9} \end{array}$

$\eqalign{ & \sqrt {21,6} .\sqrt {810.} \sqrt {{{11}^2} - {5^2}} \cr & = \sqrt {21,6.810.\left( {{{11}^2} - {5^2}} \right)} \cr & = \sqrt {216.81.\left( {11 + 5} \right)\left( {11 - 5} \right)} \cr & = \sqrt {{36.6}{{.9}^2}{{.4}^2}.6}\cr& = \sqrt {{36^2}{{.9}^2}{{.4}^2}} = 36.9.4 = 1296 \cr}$

Bài 71 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. $\left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5$

$b. 0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}}$

$c. \displaystyle \left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8}$

$d. 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}}$

Gợi ý đáp án

a. $\left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5$

$\eqalign{ & \left( {\sqrt 8 - 3.\sqrt 2 + \sqrt {10} } \right)\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr & ={\sqrt 8.\sqrt 2 - 3.\sqrt 2.\sqrt 2 + \sqrt {10} }.\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr & = \sqrt {16} - 3.2 + \sqrt {20} - \sqrt 5 \cr & = \sqrt {4^2} - 6 + \sqrt {2^2.5} - \sqrt 5 \cr & = 4 - 6 + 2\sqrt 5 - \sqrt 5 = - 2 + \sqrt 5 \cr}$

$b. 0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}}$

$\eqalign{ & 0,2\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2}.3} + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \cr & = 0,2\left| { - 10} \right|\sqrt 3 + 2\left| {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right| \cr & = 0,2.10.\sqrt 3 + 2\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) \cr & = 2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 - 2\sqrt 3 = 2\sqrt 5 \cr}$

$c. \displaystyle \left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8}$

$\eqalign{ & \left( {{1 \over 2}.\sqrt {{1 \over 2}} - {3 \over 2}.\sqrt 2 + {4 \over 5}.\sqrt {200} } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 2}\sqrt {{2 \over {{2^2}}}} - {3 \over 2}\sqrt 2 + {4 \over 5}\sqrt {{{10}^2}.2} } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 2}{\sqrt 2 \over 2} - {3 \over 2}\sqrt 2 + \dfrac{4}5.10\sqrt 2 } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 4}\sqrt 2 - {3 \over 2}\sqrt 2 + 8\sqrt 2 } \right):{1 \over 8} \cr & = \left( {{1 \over 4} - {3 \over 2} + 8 } \right).\sqrt 2:{1 \over 8} \cr & = {{27} \over 4}\sqrt 2 .8 = 54\sqrt 2 \cr}$

$d. 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}}$

$\eqalign{ & 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} + \sqrt {2.{{\left( { - 3} \right)}^2}} - 5\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^4}} \cr & = 2\left| {\sqrt 2 - 3} \right| + \left| { - 3} \right|\sqrt 2 - 5.(-1)^2 \cr & = 2\left( {3 - \sqrt 2 } \right) + 3\sqrt 2 - 5 \cr & = 6 - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 2 - 5 = 1 + \sqrt 2 \cr}$

Bài 72 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)

Phân tích thành nhân tử (với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)

$a. xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1$

$b. \sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay}$

$c. \sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}}$

$d. 12 - \sqrt x - x$

Gợi ý đáp án

$a. xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1$

$\eqalign{ & xy - y\sqrt x + \sqrt x - 1 \cr & =y.\sqrt x.\sqrt x - y\sqrt x + \sqrt x - 1 \cr & = y\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right) \cr & = \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {y\sqrt x + 1} \right) \cr}$

$b. \sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay}$

$\eqalign{ & \sqrt {ax} - \sqrt {by} + \sqrt {bx} - \sqrt {ay} \cr & = \left( {\sqrt {ax} + \sqrt {bx} } \right) - \left( {\sqrt {ay} + \sqrt {by} } \right) \cr & = \left( {\sqrt {a}.\sqrt {x} + \sqrt {b} .\sqrt {x}} \right) - \left( {\sqrt {a}.\sqrt {y} + \sqrt {b}.\sqrt {y} } \right) \cr & = \sqrt x \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) - \sqrt y \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr & = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) \cr}$

$c. \sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}}$

$\eqalign{ & \sqrt {a + b} + \sqrt {{a^2} - {b^2}} \cr & = \sqrt {a + b} + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)} \cr & = \sqrt {a + b} + \sqrt {a + b} .\sqrt {a - b} \cr & = \sqrt {a + b} \left( {1 + \sqrt {a - b} } \right) \cr}$

$d. 12 - \sqrt x - x$

$\eqalign{ & 12 - \sqrt x - x \cr & = 12 - 4\sqrt x + 3\sqrt x - x \cr & = 4\left( {3 - \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) \cr & = \left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {4 + \sqrt x } \right) \cr}$

Bài 73 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)

a. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a. $\sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} tại a = - 9$

$b. \displaystyle 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4}$ tại m = 1,5

$c. \sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}} tại a = \sqrt 2$

$d. 4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 1} tại x= - \sqrt 3$

Gợi ý đáp án

a. $\sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} tại a = - 9$

$\eqalign{ & \sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {9 + 12{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \cr &= \sqrt { - 9{\rm{a}}} - \sqrt {3^2 + 2.3.2a + ({{\rm{2a}})^2}}\cr & = \sqrt {{3^2}.\left( { - a} \right)} - \sqrt {{{\left( {3 + 2a} \right)}^2}} \cr & = 3\sqrt { - a} - \left| {3 + 2a} \right|\cr&\text{Thay a = - 9 ta được} \cr & 3\sqrt 9 - \left| {3 + 2.\left( { - 9} \right)} \right| \cr & = 3.3 - 15 = - 6 \cr}$

$b. \displaystyle 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4}$ tại m = 1,5

Điều kiện $m\ne 2$

$\eqalign{ & 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 4m + 4} \cr & =1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{m^2} - 2.2.m + 2^2} \cr & = 1 + {{3m} \over {m - 2}}\sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2}} \cr & = 1 + {{3m\left| {m - 2} \right|} \over {m - 2}} \cr}$

$= \left\{ \matrix{ 1 + 3m\left( {với\,\, m - 2 > 0} \right) \hfill \cr 1 - 3m\left( {với \,\,m - 2 < 0} \right) \hfill \cr} \right.$

$= \left\{ \matrix{ 1 + 3m\left( {với\,\, m> 2} \right) \hfill \cr 1 - 3m\left( {với \,\,m < 2} \right) \hfill \cr} \right.$

m = 1,5 < 2.

Vậy giá trị biểu thức tại m = 1,5 là 1 – 3m = 1 - 3.1,5 = -3,5

$c. \sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}} tại a = \sqrt 2$

$\eqalign{ & \sqrt {1 - 10{\rm{a}} + 25{{\rm{a}}^2}} - 4{\rm{a}} \cr & =\sqrt {1 - 2.1.5{\rm{a}} + (5{{\rm{a}})^2}} - 4{\rm{a}} \cr & {\rm{ = }}\sqrt {{{\left( {1 - 5{\rm{a}}} \right)}^2}} - 4{\rm{a}} \cr & {\rm{ = }}\left| {1 - 5{\rm{a}}} \right| - 4{\rm{a}} \cr & = \left\{ \matrix{ 1 - 5{\rm{a}} - 4{\rm{a}}\left( {với\,\, 1 - 5{\rm{a}} \ge 0} \right) \hfill \cr 5{\rm{a}} - 1 - 4{\rm{a}}\left( {với\,\, 1 - 5{\rm{a}} < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ 1 - 9{\rm{a}}\left( {với\,\, a \le {\displaystyle 1 \over \displaystyle 5}} \right) \hfill \cr a - 1\left( {với\,\, a > {\displaystyle 1 \over \displaystyle 5}} \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Vì $\displaystyle a= \sqrt 2 > {1 \over 5} .$

Vậy giá trị của biểu thức tại $a=\sqrt 2 là a - 1 = \sqrt 2 - 1$

$d. 4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 1} tại x= - \sqrt 3$

$\eqalign{ & 4{\rm{x}} - \sqrt {9{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 1} \cr & 4{\rm{x}} - \sqrt {(3{{\rm{x}})^2} + 2.3{\rm{x}} + 1} \cr & = 4{\rm{x}} - \sqrt {{{\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}^2}} \cr & = 4{\rm{x}} - \left| {3{\rm{x}} + 1} \right| \cr & = \left\{ \matrix{ 4{\rm{x - }}\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với\, 3{\rm{x}} + 1 \ge 0} \right) \hfill \cr 4{\rm{x}} + \left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\left( {với\, 3{\rm{x}} + 1 < 0} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ 4{\rm{x}} - 3{\rm{x}} - 1\left( {với \,3{\rm{x}} \ge - 1} \right) \hfill \cr 4{\rm{x}} + 3{\rm{x}} + 1\left( {với \,3{\rm{x}} < - 1} \right) \hfill \cr} \right. \cr & = \left\{ \matrix{ x - 1\left( {v{\rm{ới \,x}} \ge - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr 7{\rm{x}} + 1\left( {với \,x < - {1 \over 3}} \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Vì $\displaystyle x=- \sqrt 3 < - {1 \over 3} .$

Giá trị của biểu thức tại $x=- \sqrt 3 là 7x+1=7.( - \sqrt 3 ) + 1 = - 7\sqrt 3 + 1$

Chú ý: Các em có thể không phá dấu giá trị tuyệt đối mà thay trực tiếp giá trị của biến vào.

Bài 74 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x, biết:

$a. \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3$

$b. \displaystyle {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}}$

Gợi ý đáp án

$a. \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3$

$\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}} = 3 \Leftrightarrow \left| {2{\rm{x}} - 1} \right| = 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - 1 = 3\\ 2x - 1 = - 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = 4\\ 2x = - 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 1 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy x=-1;x=2.

$b. \displaystyle {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}}$

Điều kiện: $x\ge 0$

$\eqalign{ & {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - 2 = {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} \cr & \Leftrightarrow {5 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} - \sqrt {15{\rm{x}}} - {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {{5 \over 3} - 1 - {1 \over 3}} \right)\sqrt {15} x = 2 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 3}\sqrt {15{\rm{x}}} = 2 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {15{\rm{x}}} = 6 \cr & \Leftrightarrow 15{\rm{x}} = 36 \cr & \Leftrightarrow x = {{12} \over 5}\,(thỏa\,\, mãn) \cr}$

Vậy $x=\dfrac{12}5.$

Bài 75 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau

$a. \displaystyle \left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} = - 1,5$

$b. \displaystyle \left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} = - 2$

$c. \displaystyle {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} = a - b với a, b dương và a ≠ b$

$d. \displaystyle \left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a với a ≥ 0 và a ≠ 1$

Gợi ý đáp án

$a. \displaystyle \left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} = - 1,5$

$\eqalign{ & VT=\left( {{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt 8 - 2}} - {{\sqrt {216} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & =\left( {{{\sqrt 2.\sqrt 2.\sqrt 3 - \sqrt 6 } \over {\sqrt {2^2.2} - 2}} - {{\sqrt {6^2.6} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & =\left( {{{\sqrt 2.\sqrt 6 - \sqrt 6 } \over {2\sqrt 2 - 2}} - {6.{\sqrt {6} } \over 3}} \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = \left[ {{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - {{6\sqrt 6 } \over 3}} \right].{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = \left( {{{\sqrt 6 } \over 2} - 2\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }}\cr& = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2} - \frac{{4\sqrt 6 }}{2}} \right).\frac{1}{{\sqrt 6 }} \cr & = \left( {{{ - 3} \over 2}\sqrt 6 } \right).{1 \over {\sqrt 6 }} \cr & = - {3 \over 2} = - 1,5 =VP\cr}$

$b. \displaystyle \left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} = - 2$

$\eqalign{ & VT=\left( {{{\sqrt {14} - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {15} - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr &= \left( {{{\sqrt {7}.\sqrt 2 - \sqrt 7 } \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {5}.\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {1 - \sqrt 3 }}} \right):{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr & = \left[ {{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \over {1 - \sqrt 2 }} + {{\sqrt {5 }\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {1 - \sqrt 3 }}} \right]:{1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \cr & = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr & = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right) \cr & = - \left( {7 - 5} \right) = - 2=VP \cr}$

$c. \displaystyle {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} = a - b với a, b dương và a ≠ b$

$\eqalign{ & VT={{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & ={{\sqrt a.\sqrt a.\sqrt b + \sqrt b.\sqrt b.\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & ={{\sqrt a.\sqrt {ab} + \sqrt b.\sqrt {ab} } \over {\sqrt {ab} }}:{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr & = {{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\cr&= \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) \cr & = a - b=VP \cr}$

$d. \displaystyle \left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) = 1 - a với a ≥ 0 và a ≠ 1$

$\eqalign{ &VT= \left( {1 + {{a + \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) \cr & =\left( {1 + {{\sqrt a .\sqrt a+ \sqrt a } \over {\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - {{\sqrt a.\sqrt a - \sqrt a } \over {\sqrt a - 1}}} \right) \cr & = \left[ {1 + {{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)} \over {\sqrt a + 1}}} \right]\left[ {1 - {{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)} \over {\sqrt a - 1}}} \right] \cr & = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) \cr & =1-(\sqrt a)^2= 1 - a =VP\cr}$

Bài 76 (trang 41 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho biểu thức

$\displaystyle Q = {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + {a \over {\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):{b \over {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}$ với a > b > 0

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b

Gợi ý đáp án

$a) \begin{array}{l} \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\dfrac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}.\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} -\left( \sqrt{ {{a^2} - {b^2}}} \right)^2}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{{{a^2} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)}}{{b\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b^2}{b.{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a - b} .\sqrt {a + b} }}\, (do\,\, a>b>0)\\ = \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} \end{array}$

Vậy $Q= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}.$

b) Thay a = 3b vào $Q= \dfrac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }}$ ta được:

$Q=\dfrac{{\sqrt {3b - b} }}{{\sqrt {3b + b} }} = \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt {4b} }} \\= \dfrac{{\sqrt {2b} }}{{\sqrt 2 .\sqrt {2b} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$