Công thức cấp số cộng: Lý thuyết và bài tập Công thức tính cấp số cộng

Cấp số cộng là 1 dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi. Vậy công thức cấp số cộng là gì? Điều kiện thành lập cấp số cộng như thế nào? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

I. Công thức tổng quát của cấp số cộng

\(\left( {{U_n}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = a} \\ {{u_{n + 1}} = {u_n} + d} \end{array}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)} \right.\)d là công sai.

II. Số hạng thứ n của cấp số cộng

\({u_{n + 1}} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow d = \frac{{{u_{n + 1}} - {u_1}}}{{n - 1}}\)

III.Điều kiện lập thành cấp số cộng

Ba số hạng \({u_{n - 1}},{u_n},{u_{n + 1}}\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}\) với \(n \geqslant 1\)

IV. Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:

\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)

Chú ý

a. Dãy số \(\left( {{U_n}} \right)\) là một cấp số cộng, công sai d \(\Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n

c. Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua \({u_1},d\)

V. Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức:\(d = {u_n} – {u_{n – 1}},\forall n \ge 2.\)

Bước 2: Kết luận:

• Nếu d là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là CSC.
• Nếu d thay đổi theo n thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\)

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

\(\begin{array}{l} {S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n}\\ = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}\\ = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right].n}}{2} \end{array}\)

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

• Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \({u_1},\) công sai d.
• Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d.\)

VI. Bài tập cấp số cộng

Bài 1. Cho cấp cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_1 = 3 và u_2 = 9\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Gợi ý

Công sai của cấp số cộng đã cho bằng \({u_2} – {u_1} = 6\)

Bài 2: Cho một CSC có\({u_1} = – 3;\,\,{u_6} = 27\). Tìm d ?

Gợi ý

\(\begin{array}{l} {u_6} = 27\\ \Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27\\ \Leftrightarrow – 3 + 5d = 27\\ \Leftrightarrow d = 6 \end{array}\)

Bài 3: Cho một CSC có \({u_1} = \frac{1}{3};\,\,{u_8} = 26\) Tìm d?

Gợi ý

\(\begin{array}{l} {u_8} = 26 \Leftrightarrow {u_1} + 7d = 26\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} + 7d = 26\\ \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3} \end{array}\)

Bài 4: Cho CSC \(({u_n})\)thỏa:\(\left\{ \begin{array}{l} {u_5} + 3{u_3} – {u_2} = – 21\\ 3{u_7} – 2{u_4} = – 34 \end{array} \right.\)

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

3. Tính \(S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}}.\)

Gợi ý

Từ giả thiết bài toán, ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) – ({u_1} + d) = – 21\\ 3({u_1} + 6d) – 2({u_1} + 3d) = – 34 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = – 7\\ {u_1} + 12d = – 34 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ d = – 3 \end{array} \right. \end{array}\)

1. Số hạng thứ 100 của cấp số:\({u_{100}} = {u_1} + 99d = – 295\)

2. Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = – 285\)

3. Ta có: \(\begin{array}{l} S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}} = \frac{{27}}{2}\left[ {2{u_4} + 26d} \right]\\ = 27\left( {{u_1} + 16d} \right) = – 1242 \end{array}\)

Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:

\(S = {S_{30}} – {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) = – 1242.\)