Giải Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo) Giải SGK Toán 9 Tập 1 (trang 29, 30)

Giải Toán lớp 9 trang 29, 30 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập trong SGK bài 7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Tiếp theo.

Giải Toán 9 Bài 7 tập 1 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (Tiếp theo) được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 29, 30 tập 1 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Giải Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 7

Câu hỏi 1 (SGK trang 28): Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a. $\sqrt {\frac{4}{5}}$ b. $\sqrt {\frac{3}{{125}}}$ c. $\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}}$ với a > 0

Lời giải chi tiết

a. $\sqrt {\frac{4}{5}} = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2.\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

b. $\sqrt {\frac{3}{{125}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {25.5} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{5\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 }}{{5.\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{{5.5}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{25}}$

c. $\sqrt {\frac{3}{{2{a^3}}}} = \sqrt {\frac{{3.2{a^3}}}{{2{a^3}.2{a^3}}}} = \frac{{\sqrt {{a^2}.6a} }}{{\sqrt {{{\left( {2{a^3}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {6a} }}{{2{a^3}}} = \frac{{\sqrt {6a} }}{{2{a^2}}}$

Câu hỏi 2 (SGK trang 29): Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{5}{{3\sqrt 8 }};\frac{2}{{\sqrt b }}$ với b > 0

b. $\frac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }};\frac{{2a}}{{1 - \sqrt a }}$ với a ≥ 0, a ≠ 1

c. $\frac{4}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }};\frac{{6a}}{{2\sqrt a - \sqrt b }}$ với a > b > 0

Lời giải chi tiết

a. Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{5}{{3\sqrt 8 }} = \dfrac{5}{{3\sqrt {4.2} }} = \dfrac{5}{{3.2.\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{6.2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{12}} \hfill \\ \dfrac{2}{{\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt b .\sqrt b }} = \dfrac{{2\sqrt b }}{b} \hfill \\ \end{matrix}$

b. Ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{5}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{{5^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = \dfrac{{5\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{13}} \hfill \\ \dfrac{{2a}}{{1 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{{1^2} - a}} = \dfrac{{2a\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}$

c. Ta có:

Giải bài tập Toán 9 trang 29, 30 tập 1

Bài 48 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$\sqrt{\dfrac{1}{600}};\,\,\sqrt{\dfrac{11}{540}};\,\,\sqrt{\dfrac{3}{50}};\,\,\sqrt{\dfrac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.$

Gợi ý đáp án

$+\sqrt{\dfrac{1}{600}}=\dfrac{\sqrt 1}{\sqrt{600}}=\dfrac{ 1}{\sqrt{6.100}}=\dfrac{1}{\sqrt{6.10^2}}$

$=\dfrac{ 1}{\sqrt{6}.\sqrt{10^2}}=\dfrac{ 1}{10\sqrt{6}}=\dfrac{ 1.\sqrt 6}{10.6}=\dfrac{ \sqrt 6}{60}$

$+\sqrt{\dfrac{11}{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}}$

$=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{36}.\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{6^2}.\sqrt{15}}$

$=\dfrac{\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{11}.\sqrt{15}}{6.15}$

$=\dfrac{\sqrt{11.15}}{90}=\dfrac{\sqrt{165}}{90}.$

$+ \sqrt{\dfrac{3}{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt{25.2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}.\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5^2}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt 2}{5.2}$

$=\dfrac{\sqrt{3.2}}{10}=\dfrac{\sqrt{6}}{10}$

$+ \sqrt{\dfrac{5}{98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt {98}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49.2}}=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{49}\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt 5}{\sqrt{7^2}.\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5}{7\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 5 . \sqrt 2}{7. 2}$

$=\dfrac{\sqrt {5. 2}}{14}=\dfrac{\sqrt{10}}{14}.$

$+\sqrt{\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {27}}=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {9.3}}$

$=\dfrac{\sqrt{(1-\sqrt 3)^2}}{\sqrt {3^2.3}}=\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}$

Vì 1< 3 $\Leftrightarrow \sqrt 1 < \sqrt 3 \Leftrightarrow 1< \sqrt 3 \Leftrightarrow 1- \sqrt 3 < 0$

$\Leftrightarrow |1- \sqrt 3|=-(1-\sqrt 3)=-1 + \sqrt 3 = \sqrt 3 -1.$

Do đó: $\dfrac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt {3}}=\dfrac{\sqrt 3(\sqrt{3}-1)}{9}=\dfrac{3-\sqrt 3}{9}.$

Bài 49 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\,\,\, \dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\dfrac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.$

Gợi ý đáp án

Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.

+ Ta có

$ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=ab\sqrt{\dfrac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.$

*) Nếu b > 0 thì |b|=b $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}.$

*) Nếu b < 0 thì |b|=-b $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}=-ab\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}.$

+ Ta có:

$\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b.a}{a.a}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$

$=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}$

*) Nếu a> 0 thì $|a|=a \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$

*) Nếu a<0 thì |a|=-a $\Rightarrow \dfrac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\dfrac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{b} .$

+ Ta có:

$\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{b+1}{b^2}}$

$=\dfrac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}.$

*) Nếu b> 0 thì |b|=b $\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.$

*) Nếu -1 $\le$ b < 0 thì |b|=-b $\Rightarrow \dfrac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\dfrac{\sqrt{b+1}}{b}.$

+ Ta có:

$\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\dfrac{9}{36}}.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{\dfrac{a^3.b}{b.b}}$

$=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2.ab}{b^2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$

$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}.$

*) Nếu $a \ge 0,\ b > 0$ thì |a|=a, |b| =b $\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

*) Nếu a < 0, b < 0 thì |a|=-a, |b| =-b $\Rightarrow \dfrac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\dfrac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

(Chú ý: Theo đề bài $\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}}$ có nghĩa nên a, b cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp a, b cùng âm hoặc cùng dương).

+ Ta có:

$3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\dfrac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy)^2}}$

$=3xy.\dfrac{\sqrt{2xy}}{|xy|} =\dfrac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.$

(Vì theo đề bài $\sqrt{\dfrac{2}{xy}}$ có nghĩa nên $\dfrac{2}{xy} > 0 \Leftrightarrow xy > 0 \Rightarrow |xy|=xy.$ )

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\dfrac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \dfrac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \dfrac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{y+b.\sqrt{y}}{b. \sqrt{y}}.$

Gợi ý đáp án

+ Ta có:

$\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5.\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^2}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}$

$=\dfrac{5.\sqrt{10}}{5.2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{5.\sqrt 5}{2\sqrt 5.\sqrt 5}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2.(\sqrt 5.\sqrt 5)}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2(\sqrt 5)^2}$

$=\dfrac{5\sqrt 5}{2.5}=\dfrac{\sqrt 5}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{1}{3\sqrt{20}}=\dfrac{1.\sqrt{20}}{3\sqrt{20}.\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20}.\sqrt{20})}=\dfrac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20})^2}$

$=\dfrac{\sqrt{20}}{3.20}=\dfrac{\sqrt{2^2.5}}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{60}=\dfrac{2\sqrt 5}{2.30}=\dfrac{\sqrt 5}{30}.$

+ Ta có:

$\dfrac{(2\sqrt{2}+2)}{5.\sqrt 2}=\dfrac{(2\sqrt 2+2).\sqrt 2}{5\sqrt 2. \sqrt 2}=\dfrac{2\sqrt 2.\sqrt 2+2.\sqrt 2}{5.(\sqrt 2)^2}$

$=\dfrac{2.2+2\sqrt 2}{5.2}=\dfrac{2(2+\sqrt 2)}{5.2}=\dfrac{2+\sqrt 2}{5}.$

+ Ta có:

$\dfrac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\dfrac{(y+b\sqrt y).\sqrt y}{b\sqrt y .\sqrt y}=\dfrac{y\sqrt y+b\sqrt y.\sqrt y}{b.(\sqrt y)^2}$

$= \dfrac{y\sqrt y+b(\sqrt y)^2}{by}=\dfrac{y\sqrt y+by}{by}$

$=\dfrac{y(\sqrt y+b)}{b.y}=\dfrac{\sqrt y+b}{b}.$

Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\,\,\,\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\,\,\,\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\,\,\,\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}.$

Gợi ý đáp án:

+ Ta có:

$\dfrac{3}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{3\sqrt 3 - 3.1}{(\sqrt 3)^2-1^2}$

$=\dfrac{3\sqrt 3 -3}{3-1}=\dfrac{3\sqrt{3}-3}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{(\sqrt 3)^2-1^2}$

$=\dfrac{2(\sqrt 3 + 1)}{3-1}=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1.$

+ Ta có:

$\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2+\sqrt{3}).(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2-(\sqrt{3})^2}$

$=\dfrac{2^2+2.2.\sqrt 3+(\sqrt{3})^2}{4-3}=\dfrac{4+4\sqrt 3+3}{1}=\dfrac{(4+3)+4\sqrt 3}{1}$

$=\dfrac{7+4\sqrt 3}{1}=7+4\sqrt{3}.$

+ Ta có:

$\dfrac{b}{3+\sqrt{b}}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}$

$=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{3^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\neq 9).$

+ Ta có:

$\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}$

$=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p})^2-1^2}=\dfrac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}=\dfrac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}$

Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\,\,\ \dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\,\,\, \dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$

Gợi ý đáp án

+ Ta có:

$\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}$

$=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{6-5}$

$=\dfrac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5}).$

+ Ta có:

$\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}$

$=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2}=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}$

$=\dfrac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}.$

+ Ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{1.(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

$=\dfrac{\sqrt x + \sqrt y}{(\sqrt x)^2-(\sqrt y)^2}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$

+ Ta có:

$\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

$=\dfrac{2ab(\sqrt a+ \sqrt b)}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2}=\dfrac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}.$

Giải bài tập toán 9 trang 30: Luyện tập

Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

$a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$

$b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}$

$c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$

$d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Gợi ý đáp án

$a. \sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$

Ta có:

$\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}$

$=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$

$=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2$

$=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6.$

(Vì 2 < 3 $\Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0$

Do đó: $|\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3=\sqrt 3-\sqrt2).$

$b. ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}$

Ta có:

$ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}$

$=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}$

$=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}$

Nếu ab > 0 thì |ab|=ab

$\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}.$

Nếu ab < 0 thì |ab|=-ab

$\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}.$

$c. \sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}$

Ta có:

$\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}$

$=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}.$

(Vì $b^2 > 0$ với mọi $b \ne 0 nên |b^2|=b^2).$

$d. \dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Ta có:

$\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$=\sqrt a.$

Bài 54 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

$\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\,\,\, \dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\,\,\,\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2};$

Gợi ý đáp án

* Ta có:

$\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt 2)^2+ \sqrt 2}{1+ \sqrt 2}=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt 2(1+ \sqrt 2)}{\sqrt 2}=\sqrt{2}.$

Cách khác:

$\begin{array}{l} \dfrac{{2+ \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}}\\ = \dfrac{{2.1 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{1^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 - 2}}{{1 - 2}}\\ = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{{ - 1}} = \sqrt 2 \end{array}$

Nhận xét: Cách làm thứ nhất phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu đơn giản hơn cách thứ hai.

* Ta có:

$\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5.1}}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}.1}{1-\sqrt{3}}$

$=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{-\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}.$

+ Ta có:

$\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\dfrac{(\sqrt 2)^2.\sqrt 3-\sqrt 6}{\sqrt{4.2}- 2}$

$=\dfrac{\sqrt 2.(\sqrt 2.\sqrt 3)-\sqrt 6}{2\sqrt 2 -2}=\dfrac{\sqrt2.\sqrt{6}-\sqrt 6}{2(\sqrt{2}-1)}$

$=\dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

+ Ta có:

$\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{(\sqrt a)^2-\sqrt a .1}{1-\sqrt a}=\dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}$

$=\dfrac{-\sqrt{a}(1-\sqrt{a})}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}.$

+ Ta có:

$\dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{(\sqrt p)^2-2.\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\dfrac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}.$

Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Phân tích thành nhân tử (với a, b,x, y là các số không âm)

a. $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$

b, $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$

Gợi ý đáp án

a. $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$

Ta có:

$ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$

$=(ba+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$

$=[(b\sqrt a).\sqrt a+ b\sqrt a.1]+(\sqrt a + 1)$

$=b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)$

$=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1).$

b, $\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$

Ta có:

$\sqrt{x^{3}}-\sqrt{y^{3}}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{xy^{2}}$

$=[(\sqrt x)^3-(\sqrt y)^3]+ (\sqrt{x.xy}-\sqrt{y.xy}) =(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2]$

$+ (\sqrt{x}.\sqrt{xy}-\sqrt{y}.\sqrt{xy})$

$=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] + \sqrt{xy}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + \sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2+\sqrt{xy}]$

$=(\sqrt x-\sqrt y).[(\sqrt x)^2 + 2\sqrt x.\sqrt y+(\sqrt y)^2] =(\sqrt x-\sqrt y).(\sqrt x+\sqrt y)^2.$

Bài 56 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

a. $3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}$

b. $6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.$

Gợi ý đáp án

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a. $3\sqrt{5};\,\,\,2\sqrt{6};\,\,\,\sqrt{29};\,\,\, 4\sqrt{2}$

Ta có:

$\left\{ \matrix{ 3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}.5} = \sqrt {9.5} = \sqrt {45} \hfill \cr 2\sqrt 6 = \sqrt {{2^2}.6} = \sqrt {4.6} = \sqrt {24} \hfill \cr 4\sqrt 2 = \sqrt {{4^2}.2} = \sqrt {16.2} = \sqrt {32} \hfill \cr} \right.$

Vì: 24 < 29 < 32 < 45 $\Leftrightarrow \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{6}<\sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}$

b. $6\sqrt{2};\,\,\, \sqrt{38};\,\,\,3\sqrt{7};\,\,\, 2\sqrt{14}.$

Vì: 38 < 56 < 63 < $72\Leftrightarrow \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}$

$\Leftrightarrow \sqrt{38}< 2\sqrt{14}<3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}$

Bài 57 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

$\sqrt {25x} - \sqrt {16x} = 9$ khi x bằng

(A) 1;

(B) 3;

(D) 81.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Gợi ý đáp án

Ta có:

$\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9$

$\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9 \Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9$

$\Leftrightarrow (5-4)\sqrt{x}=9 \Leftrightarrow \sqrt{x}=9$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x})^2=9^2 \Leftrightarrow x=81$

Chọn đáp án D. 81

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

I. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

* Khi biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, người ta có thể sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn.

* Một cách tổng quát:

Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}$

* Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt {\frac{7}{{50}}}$

b) $5xy\sqrt {\frac{6}{{xy}}}$ với x > 0 và y > 0

Lời giải:

a) $\sqrt {\frac{7}{{50}}} = \sqrt {\frac{7}{{25.2}}} = \frac{1}{5}.\sqrt {\frac{7}{2}} = \frac{1}{5}.\frac{{\sqrt {7.2} }}{2} = \frac{{\sqrt {14} }}{{10}}$

b) $5xy\sqrt {\frac{6}{{xy}}} = 5xy\frac{{\sqrt {6xy} }}{{\left| {xy} \right|}}$

Vì x > 0 và y > 0 nên x.y > 0; ta có: $5xy\sqrt {\frac{6}{{xy}}} = 5xy.\frac{{\sqrt {6xy} }}{{xy}} = 5\sqrt {6xy}$

II. Trục căn thức ở mẫu

* Hai biểu thức $\sqrt x + \sqrt y$ và $\sqrt x - \sqrt y \left( {x \ge 0;y \ge 0} \right)$ được gọi là hai biểu thức liên hợp. Tổng quát: hai biểu thức $\sqrt[n]{{a + b\sqrt c }}$ và $\sqrt[n]{{a - b\sqrt c }}$ trong đó a, b, c là các biểu thức gọi là hai biểu thức liên họp bậc n.