Tìm m để bất phương trình có nghiệm Ôn tập Toán 10

Giới thiệu Tải về Bình luận

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Tìm m để bất phương trình có nghiệm sẽ được học trong chương trình Toán 10 học kì 2 áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.

Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm tổng hợp kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo 9 bài tập có đáp án giải chi tiết và 21 bài tập tự luyện. Qua bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm giúp các bạn học sinh lớp 10 củng cố kiến thức cơ bản biết vận dụng vào giải các bài toán tìm m để bất phương trình có nghiệm. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu tìm m để phương trình vô nghiệm, công thức tính độ dài trung tuyến.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm
2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm
3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm
4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là
f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là
f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là
f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ . Nghĩa là

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x² + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

Hướng dẫn giải

Đặt (m - 1)x² + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ $x > \frac{3}{2}$ (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)} \end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.$

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

a. (m - 3)x² + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m - 1)x² + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x² + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array}} \right.$

Ta có: m² - 6m + 25 = (m - 3)² + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$

b. Đặt (m - 1)x² + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)$

Vậy $m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)$ thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.$

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x² - 2mx + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow$

Vậy với |m| < $\sqrt{2}$ thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m²x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m²x - mx < 4 ⇔ (m² - m)x < 1; m² - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m² - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành luôn có nghiệm là

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m² + 1)x² + (2m - 1)x - 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.$

⇔ -1 ≤ m ≤ $\sqrt 6$ - 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; $\sqrt{6}$ - 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x² - 2mx + 2m - 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với

$\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\right. \right.$ $\Leftrightarrow m<-4$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x² + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

$\begin{align} & \left| x-x' \right|=2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ \left| \dfrac{\sqrt{\Delta }}{a} \right|=2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-m>0 \\ \sqrt{1-m}=2 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m=-3 \right. \\ \end{align}$

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x⁴ + 2mx² + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x², t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t² +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ' = m² - m

Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m² - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t₁ < t₂ ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

$\left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ a.f(0)\ge 0 \\ \dfrac{S}{2}<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 \\ m\ge 0 \\ -m<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>1$

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8: Tìm m để bất phương trình $(m + 4){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0$ có nghiệm đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Với m = -4 thì bất phương trình trở thành: $8x - 14 < 0,\forall x$ (loại)

Với $m \ne - 4$ thì $f(x) < 0,\forall x$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta ' < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {{m^2} - (m + 4)(2m - 6) < 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {m \in ( - \infty , - 4) \cup (6, + \infty )} \end{array} \Leftrightarrow m < - 4} \right.} \right.$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4

Bài 9: Tìm m để bất phương trình $(m + 2){x^2} - 2mx + {m^2} + 2m \leqslant 0$ có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

TH1: Với $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ ta được:

(1) $\Leftrightarrow 4x + 4 < 0 \Leftrightarrow x < - 1$

Bất phương trình vô nghiệm

TH2: Với $m < - 2$

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

TH3: $m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$ . Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \Delta > \Leftrightarrow {m^2} - 2 > \Leftrightarrow \left| m \right| > \sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > \sqrt 2 } \\ { - 2 < m < - \sqrt 2 } \end{array}} \right.$

Vậy với $\left| m \right| < \sqrt 2$ thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 9 Tìm m để bất phương trình ${m^2}x + 3 < mx + 4$ có nghiệm

Gợi ý đáp án

Bất phương trình tương đương với:

${m^2}x - mx < 4 - 3 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m} \right)x < 1$

Với ${m^2} - m = 0 \Leftrightarrow m = \{ 0;1\}$ thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với ${m^2} - m = 0 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \{ 0;1\}$ thì bất phương trình trở thành $x < \frac{1}{{{m^2} - m}}$ luôn có nghiệm là $x < \frac{1}{{{m^2} - m}}$

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x² - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx² - 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x² - 2x + 1 - m² ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x² + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x² + 2(m + 1)x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m² - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x² + (m - 1)x - m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x² + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình f(x) = - (m² + 2)x² - 2mx + 1 - m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx² - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0)_.

Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5x² - x + m > 0

b. mx² - 10x - 5 < 0

c. m(m+2)x² - 2mx + 2 > 0

d. (m + 1)x² - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0

Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ : (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0

Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. ${x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 4 > 0$	b. ${x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 7 > 0$
c. $m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 < 0$	d. $\left( {m + 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4 > 0$

Bài 14: Cho bất phương trình: $\frac{{2m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} \geqslant 1$

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ .

Bài 15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.

a. ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2\left( {{m^2} - 2x + 2} \right) > 0$

b. $m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 \leqslant 0$

c. $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right) + 3\left( {m - 2} \right) \geqslant 0$

Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.

Bài 17: Tìm m để phương trình: (m² + m + 1)x² + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Bài 18 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

$a) (m-5) x^{2}-4 m x+m-2=0$

$b) (m-2) x^{2}+2(2 m-3) x+5 m-6=0$

$c) (3-m) x^{2}-2(m+3) x+m+2=0$

$d) (1+m) x^{2}-2 m x+2 m=0$

$e) (m-2) x^{2}-4 m x+2 m-6=0$

$f) \left(-m^{2}+2 m-3\right) x^{2}+2(2-3 m) x-3=0$

Bài 18. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :

$a) 3 x^{2}+2(m-1) x+m+4>0$

$b) x^{2}+(m+1) x+2 m+7>0$

$c) 2 x^{2}+(m-2) x-m+4>0$

$d) m x^{2}+(m-1) x+m-1<0$

$e) (m-1) x^{2}-2(m+1) x+3(m-2)>0$

$f) \left|3(m+6) x^{2}-3(m+3) x+2 m-3\right|>3$

Bài 19 Nghiệm x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 5 - x < 1

B. 3x + 1 < 4

C. 4x - 11 > x

D. 2x - 1 > 3

Bài 20: Tập nghiệm nào sau đây là tập nghiệm của bất phương trình: x ≤ 2 ?

A. S = { x| x ≥ 2 }.

B. S = { x| x ≤ 2 }.

C. S = { x| x ≥ - 2 }.

D. S = { x| x < 2}.

Bài 21 Cho bất phương trình 3x - 6 > 0. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình đã cho?

A. 2x - 4 < 0

B. 2x - 4 ≥ 0

C. x > 2

D. 1 - 2x < 1

Bài 22: Hỏi x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

A. x + 2 > 4

B. 4 -2x < 4

C. 4x – 2 < 2

D. x - 10 > 2

Bài 23 Lập bất phương trình cho bài toán sau:

Cô Lan chia đều 20 cái kẹo cho 4 bạn nhỏ. Hỏi mỗi bạn được bao nhiêu cái kẹo để sau khi chia xong cô Lan vẫn còn kẹo?

A. 4x < 20

B. 4x > 20

C. 20x < 4

D. 20x > 4

Chia sẻ bởi:

Minh Ánh

Download

Mời bạn đánh giá!

Lượt tải: 194
Lượt xem: 72.164
Dung lượng: 474,4 KB

Liên kết tải về

Link Download chính thức:

Tìm m để bất phương trình có nghiệm Download

Tìm thêm: Toán lớp 10 Toán 10

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tài liệu tham khảo khác

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần

Kết bài nghị luận xã hội
Cách kết bài nghị luận xã hội
Văn mẫu lớp 10: Nghị luận xã hội về lối sống của giới trẻ hiện nay (Dàn ý + 6 Mẫu)
69 Những bài văn hay lớp 10
Đề cương ôn tập học kì 2 môn Công nghệ 10 sách Cánh diều
Ôn tập cuối kì 2 Công nghệ lớp 10
Văn mẫu lớp 10: Viết bài luận về bản thân (Dàn ý + 7 Mẫu)
377 Soạn Văn 10 sách Cánh diều
Văn mẫu lớp 10: Tổng hợp mở bài Lính đảo hát tình ca trên đảo
Những bài văn hay lớp 10
Văn mẫu lớp 10: Phân tích bài thơ Chiếc lá đầu tiên (Dàn ý + 4 Mẫu)
121 Chiếc lá đầu tiên của Hoàng Nhuận Cầm
Giới thiệu về bản thân bằng tiếng Anh lớp 10 (Cách viết + 7 Mẫu)
Viết đoạn văn giới thiệu về bản thân lớp 10
Bộ đề thi học kì 2 lớp 10 năm 2023 - 2024 sách Cánh diều (8 Môn)
Đề thi cuối học kì 2 lớp 10 (Có đáp án, ma trận)
Bộ đề thi học kì 2 lớp 10 năm 2023 - 2024 sách Chân trời sáng tạo
Đề thi cuối học kì 2 lớp 10 (Có đáp án, ma trận)
Bộ đề thi học kì 2 lớp 10 năm 2023 - 2024 sách Kết nối tri thức với cuộc sống
52 Đề thi cuối học kì 2 lớp 10 (Có đáp án, ma trận)

Tìm m để bất phương trình có nghiệm Ôn tập Toán 10

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Download

Link Download chính thức:

Tài liệu tham khảo khác

Các dạng bài tập toán về mệnh đề và tập hợp

Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn

Tập nghiệm của bất phương trình

Tổng và hiệu của hai vectơ

Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Chủ đề liên quan

Mới nhất trong tuần

Kết bài nghị luận xã hội

Văn mẫu lớp 10: Nghị luận xã hội về lối sống của giới trẻ hiện nay (Dàn ý + 6 Mẫu)

Đề cương ôn tập học kì 2 môn Công nghệ 10 sách Cánh diều

Văn mẫu lớp 10: Viết bài luận về bản thân (Dàn ý + 7 Mẫu)

Văn mẫu lớp 10: Tổng hợp mở bài Lính đảo hát tình ca trên đảo

Văn mẫu lớp 10: Phân tích bài thơ Chiếc lá đầu tiên (Dàn ý + 4 Mẫu)

Giới thiệu về bản thân bằng tiếng Anh lớp 10 (Cách viết + 7 Mẫu)

Bộ đề thi học kì 2 lớp 10 năm 2023 - 2024 sách Cánh diều (8 Môn)

Bộ đề thi học kì 2 lớp 10 năm 2023 - 2024 sách Chân trời sáng tạo

Bộ đề thi học kì 2 lớp 10 năm 2023 - 2024 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

Tài khoản

Gói thành viên

Giới thiệu

Điều khoản

Bảo mật

Liên hệ

Facebook

Twitter

DMCA