Công thức tính độ dài đường trung tuyến Ôn tập Toán 10

Công thức tính độ dài đường trung tuyến là tài liêu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em lớp 10 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về đường trung tuyến là gì, tính chất đường trung tuyến trong tam giác, công thức tính đường trung tuyến và các dạng bài kèm theo. Qua đó giúp các em học sinh nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải nhanh các bài Toán 10.

1. Đường trung tuyến là gì?

- Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

2. Đường trung tuyến của tam giác

- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

Ví dụ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

\(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{BG}}{{BM}} = \frac{{CG}}{{CN}} = \frac{2}{3}\)

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

- Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:

Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC

Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.

4. Công thức đường trung tuyến

\(\begin{aligned} &m_{a}=\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}} \\ &m_{b}=\sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{4}} \\ &m_{c}=\sqrt{\frac{b^{2}+a^{2}}{2}-\frac{c^{2}}{4}} \end{aligned}\)

Trong đó: a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác

m_a, m_b, m_{c lần} lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

5. Bài tập về cách tính độ dài đường trung tuyến

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pitago ta có:

AC² = AM² + MC² ⇒ 17² = AM² + 8² ⇒ AM² = 17² - 8² = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên _{\(AG=\frac{2}{3}AD\)}(1)

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên \(CG=\frac{2}{3}CE\) (2)

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên \(BG=\frac{2}{3}BF\)(3)

Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Hướng dẫn giải

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

\(AE\text{ }=\text{ }\frac{1}{3}AC\Rightarrow CE=\frac{2}{3}AC\)

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh:

a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;

b) GO = _{\(\dfrac{1}{3}\)}BC

Học sinh tự giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF² = AB² + AF² ⇒BF² = 18² + 12² = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A.

Học sinh tự giải

Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh \(BD>\frac{3}{2}BC\)

Hướng dẫn giải

Học sinh tự vẽ hình.

Xét tam giác BGC có:

BG + CG > BC

⇒ \(\frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BC\)

⇒ BD + CE > \(\frac{3}{2}BC\)

....................

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết