Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 97 - Tập 1 sách Cánh diều

Toán 10 Bài 6 Cánh diều trang 97, 98 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần luyện tập và 8 bài tập trong SGK bài Tích vô hướng của hai vectơ thuộc chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác - Vectơ.

Giải Toán 10 trang 97, 98 Cánh diều tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa. Giải Toán 10 Bài 6 Cánh diều là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Luyện tập Toán 10 Bài 6 Cánh diều

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat B = {30^o},AB = 3\;cm\). Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} ;\;\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} .\)

Gợi ý đáp án

Ta có: \(BC = \frac{{AB}}{{\cos {{30}^o}}} = 3:\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 ; AC = BC.\sin \widehat {ABC} = 2\sqrt 3 .\sin {30^o} = \sqrt 3\).

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} )\)\(= 3.2\sqrt 3 .\cos \widehat {ABC} = 6\sqrt 3 .\cos {30^o} = 6\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 9.\)

\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos (\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} )\)\(= \sqrt 3 .2\sqrt 3 .\cos \widehat {ACB} = 6.\cos {60^o} = 6.\frac{1}{2} = 3.\)

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA}\)

b) \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}\)

Gợi ý đáp án

a) Vẽ vecto \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB}\). Ta có:

\((\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} ) = (\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BA} ) = \widehat {DBA} = {120^o}\)

Vậy \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|\cos (\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BA} ) = a.a.\cos {120^o} = {a^2}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{2}.\)

b) Vì AH \(\bot\) BC nên \((\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = {90^o}\), suy ra \(\cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = \cos {90^o} = 0.\)

Vậy \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} ) = 0.\)

Giải Toán 10 trang 97, 98 Cánh diều - Tập 1

Bài 1 trang 97

Nếu hai điểm M, N thoả mãn \(\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{N M}=-4\) thì độ dài đoạn thẳng M N bằng bao nhiêu?

Gợi ý đáp án 

Chọn đáp án B

Bài 2 trang 98

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\vec{a}, \vec{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\vec{a}, \vec{b})<90^{\circ}\) thì \(\vec{a} \cdot \vec{b}<0.\)

B. Nếu \(\vec{a}, \vec{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\vec{a}, \vec{b})>90^{\circ}\) thì \(\vec{a} \cdot \vec{b}>0.\)

C. Nếu \(\vec{a}, \vec{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\vec{a}, \vec{b})<90^{\circ}\) thì \(\vec{a} \cdot \vec{b}>0.\)

D. Nếu \(\vec{a}, \vec{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\vec{a}, \vec{b}) \neq 90^{\circ}\) thì \(\vec{a} \cdot \vec{b}<0.\)

Gợi ý đáp án

C. Nếu \(\vec{a}, \vec{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) và \((\vec{a}, \vec{b})<90^{\circ}\) thì \(\vec{a} \cdot \vec{b}>0.\)

Bài 3 trang 98

Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) trong mỗi trường hợp sau:

\(a. |\vec{a}|=3,|\vec{b}|=4,(\vec{a}, \vec{b})=30^{\circ};\)

\(b. |\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6,(\vec{a}, \vec{b})=120^{\circ};\)

\(c. |\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3, \vec{a}\) và \(\vec{b}\)cùng hướng;

\(d. |\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3, \vec{a}\) và \(\vec{b}\) ngược hướng.

Gợi ý đáp án

\(a. \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos (\vec{a}, \vec{b})= 3 \cdot 4 \cdot cos30^{\circ}=6\sqrt{3}\)

\(b. \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos (\vec{a}, \vec{b})= 5 \cdot 6 \cdot cos120^{\circ}=-15\)

\(c. \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos (\vec{a}, \vec{b})= 2 \cdot 3 \cdot cos0^{\circ}=6\)

\(d. \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos (\vec{a}, \vec{b})= 2 \cdot 3 \cdot cos180^{\circ}=-6\)

Bài 4 trang 98

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

\(a. \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C};\)

\(b. \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}.\)

Gợi ý đáp án

\(a. \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=a \cdot a \cdot cos 45^{\circ}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}\)

\(b. \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}| \cdot cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD})=|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}| \cdot cos 90^{\circ}=0\)

Bài 5 trang 98

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

\(A B^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C A}=0\)

Gợi ý đáp án

\(A B^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C A}=A B^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot (\overrightarrow{B C}+ \overrightarrow{C A})=A B^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{BA}\)

\(=A B^{2}+|\overrightarrow{A B}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cdot cos(\overrightarrow{A B},\overrightarrow{BA})=A B^{2}-A B^{2}=0\)

Bài 6 trang 98

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao A H. Chứng minh rằng:

\(a. \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A H}=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A H}\);

\(b. \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{H B} \cdot \overrightarrow{B C}.\)

Gợi ý đáp án

a.

\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A H}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}) \cdot \overrightarrow{A H}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A H}+\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{A H}\)

\(=\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A H}\)(do AH vuông góc với CB)

Bài 7 trang 98

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 \mathrm{~km} / \mathrm{h} thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h} (Hình 69). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay theo đơn vị km/h (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gợi ý đáp án

Tốc độ mới của máy bay là: \(\sqrt{700^2 + 40^2 + 2 \cdot 700 \cdot 40 \cdot cos45^{\circ}} \approx 728,8 (km/h)\)

Bài 8 trang 98

Cho tam giác A B C có A B=2, A C=3, \(\widehat{B A C}=60^{\circ}\). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B C. Điểm D thoả mãn \(\overrightarrow{A D}=\frac{7}{12} \overrightarrow{A C}.\)

a. Tính \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}.\)

b. Biểu diễn \(\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{B D}\) theo\(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}.\)

c. Chứng minh \(A M \perp B D.\)

Gợi ý đáp án

\(a. \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \cdot 3 \cdot cos120=-3\)

b. \(\overrightarrow{A M} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})\)

\(\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}\)

c.\(\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}) \cdot (-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC})\)

\(=\frac{1}{2}(\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}^2-\frac{5}{12}\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}^2)=0\)

Vậy A\(M \perp B D.\)