Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ Giải SGK Toán 10 trang 92 - Tập 1 sách Cánh diều

Toán 10 Bài 5 Cánh diều trang 92 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần luyện tập và 7 bài tập trong SGK bài Tích của một số với một vectơ thuộc chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác - Vectơ.

Giải Toán 10 trang 92 Cánh diều tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa. Giải Toán 10 Bài 5 Cánh diều là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Luyện tập Toán 10 Bài 5 Cánh diều

Luyện tập 1

Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G.

Tìm các số a, b biết: \(\overrightarrow {AG} = a.\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {GN} = b.\overrightarrow {GB}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {AM}\)là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AM} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}\). Vậy \(a = \frac{2}{3}.\)

Ta có: \(\overrightarrow {GN} ,\overrightarrow {GB}\)là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {GN} } \right| = \frac{1}{3}BN = \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{3}BN} \right) = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {GB} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {GN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB}\). Vậy \(b = - \frac{1}{2}\).

Luyện tập 2

Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh \(3\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB}\)

Gợi ý đáp án

Ta có: \(3\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {BC} } \right) = 3\overrightarrow {AB} + 3.\left( {2\overrightarrow {BC} } \right) - \left[ {2\overrightarrow {AB} + 2.\left( {3\overrightarrow {BC} } \right)} \right]\)

\(= \left( {3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {6.\overrightarrow {BC} - 6.\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\)

Luyện tập 3

Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I}\)

Gợi ý đáp án

Do I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}\)

Khi đó:

\(\begin{aligned} &\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A})+(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B}) \\ &=2 \overrightarrow{M I}+(\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}) \\ &=2 \overrightarrow{M I}+\overrightarrow{0}=2 \overrightarrow{M I} \end{aligned}\)

Vậy

Giải Toán 10 trang 92 Cánh diều - Tập 1

Bài 1 trang 92

Cho hình thang MNPQ, MN / / PQ, MN=2 PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Gợi ý đáp án 

Chọn đáp án C

Bài 2 trang 92

Cho đoạn thẳng \(A B=6 \mathrm{~cm}.\)

a. Xác định điểm C thoả mãn \(\overrightarrow{A C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}.\)

b. Xác định điểm D thoả mãn \(\overrightarrow{A D}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}.\)

Gợi ý đáp án 

a.

b.

Bài 3 trang 92

Cho tam giác ABC có M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

\(a. \overrightarrow{A P}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A N};\)

\(b. \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{B A}.\)

Gợi ý đáp án 

\(a. \overrightarrow{A P}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A N}\) (đpcm).

\(b. \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{M P}=2\overrightarrow{BM}+2 \overrightarrow{M P}=2 \overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B A}\) (đpcm).

Bài 4 trang 92

Cho tam giác A B C. Các điểm D, E thuộc cạnh B C thoả mãn B D=D E=E C (Hình 62). Giả sử \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}\). Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{B E}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E} theo \vec{a}, \vec{b}.\)

Gợi ý đáp án 

\(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vec{a}+ \vec{b}\)

\(\overrightarrow{B D}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B C}=\frac{1}{3}(-\vec{a}+ \vec{b})\)

\(\overrightarrow{B E}=\frac{2}{3}\overrightarrow{B C}=\frac{2}{3}(-\vec{a}+ \vec{b})\)

\(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\vec{a}+\frac{1}{3}(-\vec{a}+ \vec{b})=\frac{2}{3}\vec{a}+ \frac{1}{3}\vec{b}\)

\(\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}=\vec{b}-\frac{1}{3}(-\vec{a}+ \vec{b})=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\)

Bài 5 trang 92

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN,E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:

\(a. \overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{E D}=4 \overrightarrow{E G};\)

\(b. \overrightarrow{E A}=4 \overrightarrow{E G};\)

c. Điểm G thuộc đoạn thẳng A E và \(\overrightarrow{A G}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A E}.\)

Gợi ý đáp án

\(a. \overrightarrow{E A}+\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{E D}\)

\(=\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{ND}\)

\(=2(\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN})\)

\(=2(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GN})\)

\(=4\overrightarrow{E G}\) (Đpcm)

b. E là trọng tâm tam giác \(B C D \Rightarrow \overrightarrow{E B}+\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{E D}=\vec{0}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{E A}=4 \overrightarrow{E G}\)

c. Vì \(\overrightarrow{E A}=4 \overrightarrow{E G} \Rightarrow G\) thuộc đoạn thẳng A E

Mặt khác: \(\overrightarrow{E A}=4 \overrightarrow{E G} \Rightarrow \overrightarrow{AE}=4 \overrightarrow{GE} \Rightarrow \overrightarrow{GE} = \frac{1}{4} \overrightarrow{A E}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{A G}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A E}\)

Bài 6 trang 92

Cho hình bình hành ABCD. Đặt \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A D}=\vec{b}\). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow{A G}, \overrightarrow{C G}\) theo hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b}.\)

Gợi ý đáp án

\(\overrightarrow{A G}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}(\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})=\frac{2}{3}(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})\)

\(\overrightarrow{C G}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA})=\frac{2}{3}(\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA})=-\frac{2}{3}(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})\)

Bài 7 trang 92

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thoả mãn

\(\overrightarrow{D B}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A H}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}.\)

a. Biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{D H}, \overrightarrow{H E}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}.\)

b. Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Gợi ý đáp án

a.

\(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}\)

\(=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)

\(=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{D H}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AH}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{H E}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AE}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\)

b. Ta có:

\(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{D H}\)

Vậy D, E, H thẳng hàng.