Công thức cấp số nhân: Lý thuyết và bài tập Ôn tập Toán 11

Cấp số nhân là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Vậy công thức tính cấp số nhân như thế nào? Cấp số nhân có những tính chất nào? Mời các bạn học sinh lớp 11 hãy cùng Download.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm: công thức cấp số cộng.

1. Cấp số nhân là gì?

- Định nghĩa: Dãy số _{\(\left( {{U}_{n}} \right)\)} được xác định bởi: _{\(\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.\)} thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

- Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: _{\(a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},...\)} với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ....

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

- Cấp số nhân bắt đầu là phần tử \({{u}_{1}}\) và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

\({{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1\)

\(\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1\)

3. Tính chất cấp số nhân

- Ba số hạng _{\({{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}}\)} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi

_{\(u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}\ \left(n\ge1\right)\)}

4. Tổng cấp số nhân

- Tổng số hạng đầu của cấp số nhân:

\(\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}\)

Nhân cả 2 vế với: _{\(\left( 1-q \right)\)}

\(\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}\)

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

\(\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}\)

5. Chú ý về cấp số nhân

a. Dãy số _{\(\left( {{U}_{n}} \right)\)} là một cấp số nhân, công sai d _{\(\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q\)} không phụ thuộc vào n

b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân \(\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c\)

6. Ví dụ về cấp số nhân

Cho cấp số nhân _{\(\left( {{U}_{n}} \right)\)} thỏa mãn: _{\({{u}_{n}}={{3}^{\frac{n}{2}+1}}\)}

a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân

b. Tính _{\(S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}...+{{u}_{20}}\)}

c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.

Gợi ý đáp án

a. Ta có: _{\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{3}^{\frac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{\frac{n}{2}+1}}}=\sqrt{3}=const\)} không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số _{\(\left( {{U}_{n}} \right)\)} là một cấp số nhân với số hạng đầu _{\({{u}_{1}}=3\sqrt{3}\)} và công bội là _{\(q=\sqrt{3}\)}

b. Ta có: _{\({{u}_{2}},{{u}_{4}},{{u}_{6}},...,{{u}_{20}}\)} lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là _{\({{u}_{2}}=9,q=3\)} và có 10 số hạng nên

\(\Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}\frac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=\frac{9}{2}\left( {{3}^{10}}-1 \right)\)

c. Ta có: \({{u}_{n}}=19683\Rightarrow {{3}^{\frac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}\Leftrightarrow n=16\)

7. Bài tập cấp số nhân

Bài 1: Chứng minh các dãy số sau là csn:

\(a. u_{n}=\frac{3}{5} \cdot 2^{n}\)

\(b. u_{n}=\frac{5}{2^{n}}\)

\(c. \mathrm{u}_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\)

\(d. u_{n}=3^{n}\)

\(e. u_{n}=n+3\)

\(f. u_{n}=3 \cdot\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{2}\end{array}\right)^{n}\)

\(\quad g. u_{n}=(-5)^{2 n+1} \quad h. u_{n}=(-1)^{n} \cdot 3^{3 n+1}\)

Bài 2: Cho csn\(\left(u_{n}\right)\): 2,6,18,54,162, \(\ldots\) . Tính \(u_{1}, q, u_{10}, S_{10}\)

Bài 3: Csn có \(\mathrm{u}_{2}=12\), \(\mathrm{u}_{4}=48.\) Hỏi số 192 là số hang thứ mấy.

Bài 4: Csn có \(u_{n}=\frac{3}{2} \cdot 5^{n}\). Tìm \(\mathrm{u}_{1}, q.\)

Bài 5: Cho csn \(\left(\mathrm{u}_{n}\right)\) với \(\mathrm{u}_{1}=3, \mathrm{q}=-\frac{1}{2}\). a. Tính \(\mathrm{u}_{7}.\)

b. Số \(\frac{3}{256}\) là số hang thứ mấy.

Bài 6: Xác đinh số hang đầu và công bôi của csn, biết:

\(a. \left\{\begin{array}{l}u_{5}=96 \\ u_{6}=192\end{array}\right.\)

\(b. \left\{\begin{array}{l}u_{5}=16 \\ u_{6}=1\end{array} \quad\right.\)

\(c. \left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=25 \\ u_{3}-u_{1}=50\end{array}\right.\)

\(e. \left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{3}+u_{5}=-21 \\ u_{2}+u_{4}=10\end{array}\right.\)

\(f. \left\{\begin{array}{l}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65 \\ u_{1}+u_{7}=325\end{array}\right.\)