Đường cao trong tam giác cân Ôn tập Toán 8

Đường cao trong tam giác cân là một trong những kiến thức cơ bản trọng tâm mà các bạn học sinh cấp THCS, THPT cần nắm được để giải các bài toán hình học.

Chính vì vậy trong bài học hôm nay Download.vn giới thiệu đến các bạn thế nào là đường cao trong tam giác, công thức tính đường cao trong tam giác cân, tính chất và một số bài tập tự luyện. Tài liệu được biên soạn rất chi tiết, dễ hiểu để các bạn tham khảo nhanh chóng giải bài tập. Bên cạnh đó các bạn xem thêm công thức tính đường cao trong tam giác.

1. Đường cao trong tam giác là gì?

Đoạn vuông góc kẻ từ 1 đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có 3 đường cao

Ba đường cao của tam giác đi qua một điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

2. Tính chất đường cao trong tam giác cân

Trong tam giác cân, đường cao có những tính chất đặc biệt như sau:

1. Đường cao trong tam giác cân cắt nhau tại một điểm duy nhất là giao điểm của các đường cao. Điều này có nghĩa là trong tam giác cân, các đường cao đồng dạng và đồng quy, tạo thành một điểm gọi là trung điểm Schiffler.

2. Đường cao trong tam giác cân chia tam giác thành hai tam giác vuông cân với các cạnh đáy tương ứng có độ dài bằng nhau. Điều này có nghĩa là đường cao là đường trung tuyến cũng như là đường phân giác của các tam giác vuông cân này.

3. Đường cao trong tam giác cân cũng là trung tuyến của tam giác gốc, chia tam giác thành hai nửa có diện tích bằng nhau.

4. Một tính chất đặc biệt khác là đường cao trong tam giác cân cũng là đường đối xứng của đường phân giác đi qua đỉnh tam giác. Điều này có nghĩa là đường cao trong tam giác cân có thể được coi là một trục bảo toàn năng lượng và góc quay.

Tóm lại, đường cao trong tam giác cân không chỉ đáng chú ý vì thành phần kỳ diệu của nó, mà còn vì những tính chất đặc biệt và liên quan của nó với các yếu tố khác trong tam giác.

3. Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như sau:

Công thức tính đường cao AH:

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

4. Tương quan giữa đường cao và cạnh đáy trong tam giác cân là gì?

Trong tam giác cân, đường cao và cạnh đáy có một mối quan hệ đặc biệt. Đường cao trong tam giác cân là một đường thẳng từ đỉnh của tam giác đến đường thẳng chứa cạnh đáy, vuông góc với cạnh đáy.

Mối quan hệ này có thể được mô tả như sau:

1. Đường cao trong tam giác cân cắt cạnh đáy tại trung điểm. Điều này có nghĩa là đường cao chia cạnh đáy thành hai phần có cùng độ dài.

2. Đường cao trong tam giác cân cũng là đường trung tuyến của tam giác. Điều này có nghĩa là đường cao chia tam giác thành hai nửa có diện tích bằng nhau.

3. Đường cao và cạnh đáy trong tam giác cân tạo thành một hình vuông khi kết hợp với cạnh đáy và hai cạnh còn lại của tam giác.

Với các tính chất đặc biệt này, đường cao và cạnh đáy trong tam giác cân tạo ra một sự cân đối đẹp và quan trọng trong tam giác.

5. Ví dụ tính đường cao trong tam giác cân

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như sau. Tính đường cao AH.

Hướng dẫn

Vì tam giác ABC cân tại A, đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AH² + BH² = AB²

=> AH² = AB² − BH²

6. Bài tập đường cao trong tam giác cân

Câu 1: Cho tam giác MNP, 2 đường cao MH và ME cắt nhau tại G. Chọn đáp án đúng:

A. G là trọng tâm của tam giác MNP.

B. G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

C. PG là đường cao của tam giác MNP.

D. PG là đường trung trực của tam giác MNP.

Câu 2: Cho tam giác MNP cân tại M biết MH là đường trung tuyến khi đó:

A. MHNP vuông góc.

B. MH là đường trung trực của NP.

C. MH là đường phân giác của góc NMP.

D. A, B, C đều đúng.

Câu 3: Cho 2 đường thẳng xx’ và yy’ cách nhau tạo G. Trên Gx, Gx’ lần lượt lấy các điểm B, D sao cho GA = GB, GC = GD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD. Chứng minh M, G, N thẳng hàng.

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, biết AB : AC = 3; AB + AC = 21cm.

1. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

2. Tính đường cao AH.