So sánh biểu thức với một số Ôn tập Toán 9

So sánh biểu thức với một số là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 9.

So sánh giá trị biểu thức với một số hoặc biểu thức là một trong những bài toán cơ bản trong chương trình lớp 9 thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Tài liệu tổng hợp lý thuyết, phương pháp so sánh kèm theo ví dụ và bài tập tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập đại số về biểu thức chứa căn thuận tiện, chính xác hơn. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

I. Cách so sánh biểu thức chứa căn với một số

+) So sánh biểu thức A với một số m

- Xét hiệu A – m

- Dùng các điều kiện của biến x, Các bất đẳng thức, hằng đẳng thức để đánh giá hiệu A – m

• Nếu A – m > 0 thì A > m
• Nếu A – m < 0 thì A < m

+) So sánh biểu thức A với một biểu thức khác

- So sánh biểu thức A với A

• Nếu 0 < A < 1 thì A < A
• Nếu A > 1 thì A > A

- So sánh biểu thức A với A

• Vì A≤A với mọi A
• Nếu A≥0 thì A=A
• Nếu A < 0 thì A < |A|

+) Tìm x để A > m (A < m, A m, A m).

- Xét A > m

- Quy đồng mẫu (chú ý không được khử mẫu)

- Xét dấu tử số và mẫu số, tìm được x

- So sánh với điều kiện đầu bài rồi kết luận.

II. Phương pháp so sánh biểu thức chứa căn với một số

- Để so sánh hai biểu thức A đã rút gọn với một số k, ta xét hiệu: A – k

+ Nếu A – k > 0 thì A > k

+ Nếu A – k < 0 thì A < k

III. Ví dụ so sánh biểu thức chứa căn với một số

Ví dụ 1: Cho biểu thức : \(P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\)

a) Rút gọn biểu thức P

b) So sánh P với 5

Gợi ý đáp án

a)

\(\begin{array}{l} P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}\\ P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ P = \dfrac{{2x + 2}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\ P = \dfrac{{2x + 2 + x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} \end{array}\)

b) Xét hiệu \(P - 5 = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} - 5 = \dfrac{{2x + 2 + 2\sqrt x - 5\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2x + 2 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} 2x - 3\sqrt x + 1 = 2\left( {x - \dfrac{3}{2}\sqrt x + 1} \right)\\ = 2\left( {x - 2.\dfrac{3}{4}\sqrt x + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right) = 2\left[ {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] \end{array}\)

\(\begin{array}{l} {\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)^2} + \dfrac{7}{{16}} \ge \dfrac{7}{{16}}\\ 2\left[ {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] \ge \dfrac{7}{8} > 0 \end{array}\)

Lại có \(\sqrt x > 0\) nên \(\dfrac{{2x + 2 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} > 0 \Rightarrow P - 5 > 0 \Rightarrow P > 5\)

Ví dụ 2: Cho biểu thức \(M = \left( {\dfrac{1}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 2\sqrt x + 1}}\) với \(x > 0;\,\,x \ne 1\)

a) Rút gọn biểu thức

b) So sánh M với 1

Gợi ý đáp án

\(\begin{array}{l} M = \left( {\dfrac{1}{{x - \sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 2\sqrt x + 1}}\\ M = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\ M = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x .\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} \end{array}\)

b) Xét hiệu \(M - 1 = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 1 = \dfrac{{\sqrt x - 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\\ \sqrt x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} < 0 \Rightarrow M - 1 < 0 \Rightarrow M < 1\)

Ví dụ 3

So sánh các số sau:

a) 9 và √80

b) √15 - 1 và √10

Gợi ý đáp án

a) Ta có: 9 = √81. Vì √81 > √80 nên 9 > √80

b) Ta có: √15 - 1 < √16 - 1 = 3

√10 > √9 = 3

Vậy √15-1 < √10

Ví dụ 4

a) 2 và 1 + √2

b) 1 và √3 - 1

c) 3√11 và 12

d) -10 và -2√31

Gợi ý đáp án

a) Ta có: 1 + √2 > 1 + 1 = 2

⇒ 2 < 1 + √2

b) √3 - 1 < √4 - 1 = 2 - 1 = 1

⇒ √3 - 1 < 1

c) 3√11 < 3√16 = 3.4 = 12

⇒ 3√11 < 12

d) -2√31 < -2√25 = -10

⇒ -2√31 < -10.

4. Bài tập tự luyện so sánh biểu thức với một số

Bài 1: Cho hai biểu thức \(A=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\) và \(B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\frac{3\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}\) với điều kiện x > 0; x ≠ 4

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho P = A . B. So sánh P với 2.

Bài 2: Cho hai biểu thức \(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\) và \(B=\frac{5}{\sqrt{x}+1}+\frac{9-\sqrt{x}}{x-1}\) với x ≥ 0 và x ≠ 1.

a) Tính giá trị của A khi x = 16

b) Chứng minh \(B=\frac{4}{\sqrt{x}-1}\)

c) Cho P = A . B. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P > 1.