Tìm nghiệm của đa thức Cách tìm nghiệm của đa thức

Tìm nghiệm của đa thức là một trong số các dạng bài tập thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra Toán 7. Tuy nhiên nhiều bạn học sinh vẫn chưa biết cách tìm nghiệm của đa thức như thế nào? Mời các bạn hãy theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Cách tìm nghiệm của đa thức bao gồm toàn bộ kiến thức lý thuyết về nghiệm của đa thức, ví dụ minh họa cách tìm nghiệm, một số bài tập có đáp án và tự luyện kèm theo. Thông qua tài liệu này các bạn nhanh chóng biết cách vận dụng vào giải bài toán tìm nghiệm của đa thức. Bên cạnh đó các bạn xem thêm cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

1. Nghiệm của đa thức một biến

- Giá trị x = a được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0

+ Nếu P(a) = 0 thì x = a là nghiệm của đa thức P(x)

- Đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm

- Đa thức bậc hai có không quá hai nghiệm

- Đa thức bậc ba có không quá ba nghiệm; …

Chú ý:

+ Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm.

+ Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm,…

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2y + 6

Từ 2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y = -6/2 = -3

Vậy nghiệm của đa thức P(x) là -3.

Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm là x = 1 . Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x² - 6x - 2.

2. Cách tìm nghiệm của đa thức

Tìm nghiệm của đa thức F(x) ta làm như sau:

Bước 1: Cho đa thức F(x) = 0

Bước 2: Tìm x và kết luận nghiệm.

3. Ví dụ tìm nghiệm của đa thức

Bài tập 1: Xét xem x = 1; x = 0; x = 2 có phải là nghiệm của đa thức F(x) = 3x³ – 12x hay không?

Gợi ý đáp án

Với x = 1

Thay x = 1 vào F(x) ta có: F(1) = 3.1³ – 12.1 = 3 – 12 = -9 ≠ 0

Vậy x = 1 không là nghiệm của đa thức đã cho.

Với x = 0

Thay x = 0 vào F(x) ta có: F(0) = 3.0³ – 12.0 = 3.0 – 0 = 0

Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức đã cho.

Với x = 2

Thay x = 2 vào F(x) ta có: F(2) = 3.2³ – 12.2 = 3.8 – 24 = 0

Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức đã cho.

Bài tập 2: Tìm nghiệm của các đa thức:

a) \(f\left( x \right) = 3x + 8\)

b) \(f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 5} \right)\)

c) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\)

Gợi ý đáp án

a) \(f\left( x \right) = 3x + 8\)

f(x) = 0 hay 3x + 8 = 0 => \(x = \frac{{ - 8}}{3}\)

Vậy đa thức có nghiệm \(x = \frac{{ - 8}}{3}\)

b) \(f\left( x \right) = 3x + 8\)

f(x) = 0

=> (x – 3)(2x + 5) = 0

=> x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

=> x = 3 hoặc \(x = \frac{{ - 5}}{2}\)

Vậy đa thức có nghiệm x = 3 hoặc \(x = \frac{{ - 5}}{2}\)

c) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\)

f(x) = 0

=> x² + 2x = 0

=> x(x + 2) = 0

=> x = 0 hoặc x + 2 = 0

=> x = 0 hoặc x = -2

Vậy đa thức có nghiệm là x = 0 hoặc x = -2

Bài 3: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm

a) P(x) = x² + 1 b) Q(y) = 2y⁴ + 5

Lời giải:

a) Vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1

Do đó: P(x) = x² + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm.

b) Vì y⁴ ≥ 0 nên 2y⁴ + 5 > 0

Do đó: Q(y) = 2y⁴ + 5 > 0 nên đa thức Q(x) vô nghiệm.

Bài 4 Tìm nghiệm của đa thức

a) x² - 2003x - 2004 = 0

b) 2005x² - 2004x - 1 = 0

Lời giải:

a) Đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004

Khi đó ta có: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004) = 0

Nên đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có nghiệm x = -1

b) Đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1

Khi đó ta có: a + b + c = 2005 - 2004 - 1 = 0

Nên đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có nghiệm x = 1.

4. Bài tập tìm tập nghiệm của đa thức

A. Tự luận

Bài 1: Cho đa thức f(x) = x² - x - 6

a, Tính giá trị của f(x) tại x = 1, x = 2, x = 3, x = -1, x = - 2, x = -3

b, Trong các giá trị trên, giá trị nào của x là nghiệm của đa thức f(x)?

Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a, (x - 3)(x + 3)	b, (x - 2)(x² + 2)
c, 6 - 2x	d, (x³ - 8)(x - 3)
e, x² - 4x	f, x² - 5x + 4
g, 6x³ + 2x \(^4\) + 3x² - x³ - 2x \(^4\) - x - 3x² - 4x³

Bài 3: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

Bài 4: Xác định hệ số tự do c để đa thức f(x) = 4x² - 7x + c có nghiệm bằng 5.

Bài 5: Lập đa thức một biến trong mỗi trường hợp sau:

a) Chỉ có một nghiệm là -2/5

b) Chỉ có hai nghiệm là √2 và -√3

c) Chỉ có ba nghiệm là (0,7) , (-0,7) , (-0,6)

d) vô nghiệm

Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P: x = x³ + 2x² - 3x + 1 có duy nhất một nghiệm nguyên.

B. Trắc nghiệm

Câu 1: Cho đa thức f(x) = x² - 6x + 8. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho?

Câu 2: Nghiệm của đa thức x² - 10x + 9 là:

Câu 3: Tích các nghiệm của đa thức x¹¹ - x¹⁰ + x⁹ - x⁸ là

Câu 4: Số nghiệm của đa thức x³ + 8 là:

Câu 5: Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 3x² - 27 là:

ĐÁP ÁN