Vòng tròn lượng giác Đường tròn lượng giác

Vòng tròn lượng giác hay đường tròn lượng giác là một công cụ toán học cơ bản giúp xác định các giá trị của các hàm số lượng giác như sin, cos và tan tại các góc khác nhau.

Vòng tròn lượng giác là một trong những công cụ không thể thiếu trong nhiều bài toán và ứng dụng thực tế, nhất là trong các lĩnh vực toán học và vật lý. Vòng tròn lượng giác giúp chúng ta giải các bài toán đạo động điều hòa, nơi mà vị trí và vận tốc của một hệ vật lý có thể được biểu diễn bằng các phương trình lượng giác. Vậy sau đây là trọn bộ nội dung chi tiết kiến thức về Vòng tròn lượng giác mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

1. Vòng tròn lượng giác là gì?

Theo lý thuyết, một dao động điều hòa có phương trình x = Acos(ωt + φ) có thể biểu diễn bằng 1 vòng tròn lượng giác. Dựa vào hình học biểu diễn trên đường tròn kết hợp với công thức lượng giác ta có thể suy ra những đại lượng vật lý cần tìm như biên độ A, li độ x, thời gian t,… tùy theo dữ kiện cho và câu hỏi đặt ra.

2. Cách sử dụng vòng tròn lượng giác

- Vòng tròn lượng giác là đường tròn đơn vị tâm O bán kính 1, định hướng với quy ước chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và trên đó A là điểm gốc.

- Điểm _{\(P\left( x,y \right)\)} trên đường tròn lượng giác sao cho một điểm C bất kì nằm trên đường tròn ta đều có _{\(\left( OA,OC \right)=\alpha\)} được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo _\(\alpha\).

- Trục Ox được gọi là trục giá trị cos.

- Trục Oy được gọi là trục giá trị sin.

- Trục tan có gốc là điểm và vuông góc với trục cos, trục cotan có gốc là điểm vuông góc với trục sin.

3. Dấu của các giá trị lượng giác

Các giá trị của vòng tròn lượng giác sẽ gồm có dấu, bảng giá trị lượng giác từ 0 - 180 độ. Ngoài ra các em cũng cần nắm rõ công thức về các cung liên kết với vòng tròn lượng giác. Cụ thể như sau:

Dấu của giá trị lượng giác

Các giá trị lượng giác trong vòng tròn lượng giác, cũng như các góc ¼ số cụ thể như sau:

• Giá trị lượng giác Sinx, góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ 2 mang dấu (+), góc phần tư thứ 3 và góc phần thứ 4 mang dấu (-).
• Giá trị lượng giác Cosx, góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ 4 mang dấu (+), góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 3 mang dấu (-).
• Giá trị Tanx, góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ 3 mang dấu (+), góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 4 mang dấu (-).
• Giá trị Cotx, góc phần thứ nhất nhất và góc phần thứ thứ 3 mang dấu (+), góc phần tư thứ 2 và góc phần tư thứ 4 mang dấu (-).

Để giúp các em dễ dàng ghi nhớ về dấu giá trị lượng giác, dưới đây là bảng tổng hợp ngắn gọn như sau:

4. Bảng giá trị lượng giác từ _{\({{0}^{0}}\)} đến _{\({{180}^{0}}\)}

\(\alpha\)	\(0\) \(\left( {{0}^{0}} \right)\)	\(\frac{\pi }{6}\) \(\left( {{30}^{0}} \right)\)	\(\frac{\pi }{4}\) \(\left( {{45}^{0}} \right)\)	\(\frac{\pi }{3}\) \(\left( {{60}^{0}} \right)\)	\(\frac{\pi }{2}\) \(\left( {{90}^{0}} \right)\)	\(\frac{2\pi }{3}\) \(\left( {{120}^{0}} \right)\)	\(\frac{3\pi }{4}\) \(\left( {{135}^{0}} \right)\)	\(\frac{5\pi }{6}\) \(\left( {{150}^{0}} \right)\)	\(\pi\) \(\left( {{180}^{0}} \right)\)	\(\frac{3\pi }{2}\) \(\left( {{270}^{0}} \right)\)	\(2\pi\) \(\left( {{360}^{0}} \right)\)
\(\sin \alpha\)	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0	-1	0
\(\cos \alpha\)	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	-1	0	1
\(\tan \alpha\)	0	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	1	\(\sqrt{3}\)	||	\(-\sqrt{3}\)	-1	\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)	0	||	0
\(\cot \alpha\)	||	\(\sqrt{3}\)	1	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	0	\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)	-1	\(-\sqrt{3}\)	||	0	||

5. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

6. Ứng dụng của vòng tròn lượng giác

7. Bài tập vận dụng vòng tròn lượng giác

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác cho các cung lượng giác (I), (II), (III) và (IV) có điểm đầu là A và có số đo lần lượt là:

(a) \(\frac{\pi }{4}\)

(b) \(- \frac{{7\pi }}{4}\)

(c) \(\frac{{13\pi }}{4}\)

(d) \(- \frac{{71\pi }}{4}\)

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

A. Chỉ (a) và (b)

B. Chỉ (a), (b), (c)

C. Chỉ (b), (c), (d)

D. Chỉ (a), (b) và (d)

Câu 2: Biết một góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo \(\frac{{ - 138\pi }}{5}\). Góc lượng giác (Ou, Ov) âm lớn nhất là:

A. -1,6π

B. -27,6π

C. -0,6π

D. -0,4π

Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, số các điểm ngọn của cung có số đo bằng \(\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{5}\) là:

Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, điểm ngọn của cung có số đo 3000⁰ nằm ở góc phần tư thứ mấy?

Câu 5: Cho góc α biết \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), chọn đáp án đúng trong các đáp án dưới đây?