Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn lớp 9 tham khảo.

Giải toán bằng cách lập hệ phương trình bao gồm toàn bộ kiến thức về cách giải, ví dụ minh họa kèm theo một số bài tập có đáp án chi tiết kèm theo. Thông qua tài liệu này các bạn nhanh chóng biết cách giải các bài tập Toán 9 để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Chúc các bạn học tốt.

I. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta làm theo ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình bằng cách:

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho chúng (thông thường bài toán hỏi gì ta sẽ đặt ẩn như thế).

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

II. Các dạng toán bằng cách lập hệ phương trình

1. Dạng toán dân số, lãi suất, tăng trưởng

+ \(x\% = \frac{x}{{100}}\)

+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay của tỉnh A là \(a + a.\frac{x}{{100}}\), dân số tỉnh A năm sau là \(a + a.\frac{x}{{100}} + \left( {a + a.\frac{x}{{100}}} \right).\frac{x}{{100}}\).

2. Dạng toán có nội dung hình học – hóa học

+ Ghi nhớ công thức về diện tích hình chữ nhật: S = a.b (với a, b là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật); diện tích hình tam giác \(S = \frac{1}{2}ah\) (với a, h lần lượt là độ dài cạnh đáy và đường cao của tam giác); số đường chéo của một đa giác \(\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\) (với n là số cạnh của đa giác).

+ Các công thức hóa học

Ví dụ

Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40cm², biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3cm thì diện tích tăng thêm 48cm².

Lời giải

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, x > 0)

Chiều rộng của hình chữ nhật là y (cm, y > 0)

Theo đề bài, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} xy = 40\\ \left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) - xy = 48 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 8\\ y = 5 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 5\\ y = 8 \end{array} \right. \end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

3. Dạng toán làm chung công việc

+ Ở những bài toán làm chung công việc, ta luôn coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị hoặc toàn bộ bể chứa là 1 đơn vị.

+ Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một giờ đội đó làm được công việc \(\frac{1}{x}\).

+ Hoặc nếu một vòi chảy trong x giờ thì đầy bể thì trong một giờ vòi đó chảy được \(\frac{1}{x}\)bể.

+ Nếu bài toán cho hai đội làm xong công việc trong giờ, đội 1 làm xong công việc trong x giờ và đội 2 làm xong công việc trong y giờ thì ta quy về phương trình \(\frac{1}{x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\).

Ví dụ

2 đội thợ cùng đào một con mương thì sau 2 giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong mấy giờ thì xong việc?

Lời giải

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (giờ, x >0)

Thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là y (giờ, y > 0)

Mỗi giờ đội 1 làm được \(\frac{1}{x}\)công việc, đội 2 làm được \(\frac{1}{y}\)công việc.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x = y + 2\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{12}}{{32}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5\left( {tm} \right)\\ y = 3\left( {tm} \right) \end{array} \right.\)

4. Dạng toán chuyển động

+ Vận tốc: v km/h (hoặc m/s), quãng đường s km (hoặc m), thời gian t h (hoặc giây).

+ Công thức vận tốc, quãng đường, thời gian: s = v.t

+ Công thức bài toán chuyển động ngược dòng: vngược = vriêng - vdòng nước

+ Công thức bài toán chuyển động xuôi dòng: vxuôi = vriêng + vdòng nước

+ Công thức bài toán chuyển động ngược chiều:

Hai chuyển động gặp nhau thì S = S1 + S2 (trong đó S là cả quãng đường, S1 là quãng đường chuyển động 1 đi được, S2 là quãng đường chuyển động 2 đi được).

+ Công thức bài toán chuyển động cùng chiều:

Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.

Nếu hai chuyển động cùng khởi hành: tc/đ chậm – tc/đ nhanh = tđến sớm.

Nếu hai chuyển động xuất phát trước sau: tc/đ trước – tc/đ sau = tđi sau; tc/đ sau + tđi sau + tđến sau = tc/đ trước

 Ví dụ

Lúc 6 giờ 30 phút sáng, Lan đi học đến trường bằng xe đạp với vận tốc 16 km/h. Trên con đường đó, lúc 6 giờ 45 phút, mẹ Lan đi làm bằng xe máy với vận tốc 36 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ và cách nhà bao nhiêu km?

Lời giải

Gọi thời gian Lan đi được đến khi gặp mẹ Lan là x (giờ, \(x > \frac{1}{4}\))

Thời gian mẹ Lan đi được đến khi gặp Lan là y (giờ, y> 0)

Theo đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = y + \frac{1}{4}\\ 16x = 36y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{9}{{20}}\left( {tm} \right)\\ y = \frac{1}{5}\left( {tm} \right) \end{array} \right.\)

Thời gian Lan đi được là \(\frac{9}{{20}}\) giờ hay 27 phút. Thời gian hai người gặp nhau là 6 giờ 57 phút và cách nhà 7,2km.

5. Dạng toán về quan hệ các số

+ Biểu diễn số có hai chữ số: \(\overline {ab} = 10a + b\)(với \(a,b \in N;0 < a \le 9;0 \le b \le 9\)).

+ Biểu diễn số có ba chữ số: \(\overline {abc} = 100a + 10b + c\)(với \(a,b,c \in N\); \(0 < a \le 9\); \(0 \le b,c \le 9\)).

+ Tổng hai số x và y là x + y.

+ Tổng bình phương 2 số x và y là \({x^2} + {y^2}\).

+ Bình phương của tổng của 2 số x và y là \({\left( {x + y} \right)^2}\).

+ Tổng nghịch đảo của 2 số x và y là \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).

Ví dụ:

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng 1/2. Tìm phân số đó?

Lời giải:

Gọi tử số của phân số đó là x (đơn vị, x thuộc Z), mẫu số của phân số đó là y (đơn vị, \(y \ne 0; y\ne -1\)).

Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì tử số là x + 1, mẫu số là y + 1.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 3 = y\\ \frac{{x + 1}}{{y + 1}} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 5 \end{array} \right.\)

III. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1: 

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

Gợi ý đáp án 

Gọi số lớn là x, số nhỏ là y. (Điều kiện: x > y; x,\(y \in N^*\) )

Theo giả thiết tổng hai số bằng 1006 nên: x + y = 1006.

Vì số lớn chia số nhỏ được thương là 2, số dư là 124 nên ta được: x = 2y + 124 (với y>124)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x + y = 1006& & \\ x = 2y + 124& & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x + y = 1006& & \\ x -2y = 124& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 1006\\ x + y - \left( {x - 2y} \right) = 1006 - 124 \end{array} \right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} x + y = 1006& & \\ 3y = 882& & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} x = 1006 - y & & \\ y = 294& & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} x = 1006 - 294 & & \\ y = 294& & \end{matrix}\right.\)

\(⇔ \left\{\begin{matrix} x = 712& & \\ y = 294& & \end{matrix} \right.\)

Vậy hai số tự nhiên phải tìm là 712 và 294.

Bài 2

Một ôtô đi từ A và dự định đến B lức 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự đinh. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.

Gợi ý đáp án 

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB, y (giờ) là thời gian dự định đi từ A để đến B đúng lúc 12 giờ trưa. Điều kiện x > 0, y > 1 (do ôtô đến B sớm hơn 1 giờ).

+) Trường hợp 1:

Xe đi với vận tốc 35 km (h)

Xe đến B chậm hơn 2 giờ nên thời gian đi hết là: y+2 (giờ)

Quãng đường đi được là: 35(y+2) (km)

Vì quãng đường không đổi nên ta có phương trình: x=35(y+2) (1)

+) Trường hợp 2:

Xe đi với vận tốc: 50 km/h

Vì xe đến B sớm hơn 1 giờ nên thời gian đi hết là: y-1 (giờ)

Quãng đường đi được là: 50(y-1) (km)

Vì quãng đường không đổi nên ta có phương trình: x=50(y-1) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x = 35(y + 2) & & \\ x = 50(y - 1) & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 35y + 70 & & \\ x = 50y - 50 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x - 35y = 70 \ (1) & & \\ x - 50y =- 50 \ (2) & & \end{matrix}\right.\)

Lấy vế trừ vế của (1) cho (2), ta được:

\(\left\{\begin{matrix} 15y =120 & & \\ x -50y =- 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =8 & & \\ x =- 50+50y & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =8 & & \\ x =- 50+50.8 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y =8 & & \\ x =350 & & \end{matrix} \right.\)

Vậy quãng đường AB là 350km.

Thời điểm xuất phát của ô tô tại A là: 12 - 8 = 4 giờ

Bài 3

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ?

Gợi ý đáp án 

Gọi số cam là x, số quýt là y. Điều kiện x, y là số nguyên dương.

"Quýt ,cam mười bảy quả tươi" nên tổng số quả cam và quýt là 17 quả, ta có phương trình: x+y=17 (1)

"Chia ba mỗi quả quýt rồi" nghĩa là mỗi quả quýt chia làm ba miếng nên y quả quýt thì có số miếng quýt là: 3y (miếng)

"Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh" nghĩa là 1 quả cam chia làm 10 miếng nên x quả cam thì có số miếng cam là: 10x (miếng)

"Trăm người , trăm miếng ngọt lành" nghĩa là sau khi chia cam và quýt thì ta có tất cả 100 miếng, nên ta có phương trình: 10x+3y=100 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x + y =17& & \\ 10x + 3 y =100& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + 3y =51 & & \\ 10x + 3 y =100& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 3y - \left( {10x + 3y} \right) = 51 - 100\\ 10x + 3y = 100 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7x =-49 & & \\ 10x + 3 y =100& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=7& & \\ 3 y =100 -10x & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =7& & \\ 3 y =100 - 10.7& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=7& & \\ y =10 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam.

Bài 4: 

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\)giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Gợi ý đáp án 

Đổi \(4\dfrac{4}{5} giờ =\dfrac{5.4+4}{5} giờ =\dfrac{24}{5}\) giờ

Gọi x (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > \dfrac{24}{5}).\)

y (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > \dfrac{24}{5}).\)

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.

Suy ra trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) (bể)

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau \(4\dfrac{4}{5} giờ = \dfrac{24}{5}\) giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\dfrac{5}{24}\) bể.

Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{5}{24} (1)\)

Trong 9 giờ, vòi thứ nhất chảy được \(9.\dfrac{1}{x}\) bể.

Trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}\) bể.

Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy 9h sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ đầy bể nên ta có phương trình:

\(9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow 9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1 \Leftrightarrow {\left(9+\dfrac{6}{5}\right)} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\)\(\Leftrightarrow \dfrac{51}{5}.\dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1 \Leftrightarrow 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 (2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} & & \\ 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 & & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) với a > 0, b> 0.

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{5}{24} & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6a + 6b = \dfrac{5}{4}\\ 51a + 6b = 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 51a + 6b - \left( {6a + 6b} \right) = 5 - \dfrac{5}{4}\\ 6a + 6b = \dfrac{5}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 45a = \dfrac{{15}}{4}\\ a + b = \dfrac{5}{{24}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}}\\ \dfrac{1}{{12}} + b = \dfrac{5}{{24}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}}\\ b = \dfrac{5}{{24}} - \dfrac{1}{{12}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{{12}}\\ b = \dfrac{1}{8} \end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right) \end{array}\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =12 & & \\ y=8 & & \end{matrix} \right.\)

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau 8 giờ bể sẽ đầy.