Công thức Hoán vị, chỉnh hợp Công thức Toán 10

Hoán vị, chỉnh hợp là một trong những kiến thức trọng tâm được học trong chương trình Toán 10. Vậy công thức tính hoán vị như thế nào? Công thức chỉnh hợp là gì? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây của Download.vn nhé.

Trong bài viết dưới đây sẽ tổng hợp kiến thức về công thức tính hoán vị, chỉnh hợp, ví dụ minh họa và một số bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các em củng cố, khắc sâu thêm kiến thức đã học trong chương trình chính khóa; có thể tự học, tự kiểm tra được kết quả học tập của bản thân. Bên cạnh đó các bạn xem thêm: công thức tổ hợp, Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 10.

1. Công thức chỉnh hợp

Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A).

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:

Công thức chỉnh hợp:\(A_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}\)

• Một số quy ước: 0! = 1, A_n⁰ = 1, Aⁿ_n = n!
• Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử được sắp xếp là k: 0 ≤ k ≤ n.

Ví dụ:

Từ các chữ số từ 0 đến 9. Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên sao cho:

a) Số có 6 chữ số khác nhau

b) Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

c) Số lẻ có 6 chữ số khác nhau.

Gợi ý đáp án

a) Lập số có 6 chữ số khác nhau

Chọn chữ số đầu tiên từ các số từ 1 đến 9: có 9 cách chọn

Các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số đầu tiên) có A95

Vậy có 9A95 = 136080 số.

b) Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

Chọn chữ số hàng đơn vị: có 1 cách chọn là chữ số 0

Chọn các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số 0) có A95

Vậy có A95 = 15120 số.

c) Gọi số là số lẻ có 6 chữ số khác nhau được lập từ chữ số 0 đến 9

Vì  là số lẻ nên f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Chọn f: có 5 cách chọn

Chọn a từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: có 8 cách chọn

Chọn b, c, d, e là chỉnh hợp chập 4 của 8 chữ số còn lại (khác f và a): có A84

Vậy có 5.8A84 = 67200 số.

2. Công thức Hoán vị

a) Định nghĩa:

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

b) Số các hoán vị:

- Kí hiệu P_n là số các hoán vị của n phần tử.

Công thức hoán vị:

P_n = n(n – 1)…2.1 = n!

Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.

Ví dụ: Xếp 10 bạn, trong đó có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Xếp bất kì

b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau

c) Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ với nhau.

Gợi ý đáp án

a) Số cách xếp 10 bạn vào một ghế dài là một hoán vị của 10: 10!

b) Xếp các bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 5 bạn nam vào 1 “bó”: có 5! cách xếp bên trong “bó”

Rồi xếp 5 bạn nữ cùng 1 “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp.

Vậy có 5! . 6! = 86400 cách xếp sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau.

c) Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ 1 đến 10.

Để xếp xen kẽ các bạn nam và nữ

+ Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi vị trí lẻ, các bạn nữ ngồi vị trí chẵn

Số cách xếp các bạn nam: 5!

Số cách xếp các bạn nữ: 5!

Do đó có 5! . 5! cách xếp.

+ Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, các bạn nữ ngồi vị trí lẻ

Tương tự như trường hợp trên ta có 5! . 5! cách xếp.

Vậy có 2 . 5! . 5! = 28800 cách xếp.