Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập Toán lớp 8

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán 8 hiện hành.

Phân tích đa thức thành nhân tử tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập có đáp án kèm theo tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử chính xác nhất. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: bài tập về hằng đẳng thức, Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

1. Định nghĩa:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ:

a) 2x2+ 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)

b) x - 2\sqrt{x}y +5\sqrt{x}- 10y = [(\sqrt{x})2– 2\sqrt{x} y ] + (5\sqrt{x}- 10y)

= \sqrt{x}(\sqrt{x}- 2y) + 5(\sqrt{x}- 2y)

= (\sqrt{x}- 2y)(\sqrt{x} + 5)

II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.

Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:

1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)

2. 3x + 12 \sqrt{x} y = 3 \sqrt{x}(\sqrt{x} + 4y)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

A2 - B2 = (A + B)(A - B)

(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3

A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

c) Phương pháp nhóm hạng tử:

Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ:

1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2. x - 3+ y – 3y = (x - 3) + (y – 3y)

= ( - 3) + y( - 3)= (- 3)( + y)

d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c () nếu

Ví dụ:

a) 2x2-3x + 1

= 2x2 - 2x - x +1

= 2x(x - 1) - (x - 1)

= (x - 1)(2x - 1)

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2

= (y2 + 8)2 - (4y)2

= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)

b) x2+ 4 = x2+ 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x

= (x + 2)2 - =

f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ:

a) a3-a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)

=(a - b) (a2 - b2)

= (a - b) (a - b) (a + b)

= (a - b)2(a + b)

III. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử (Có đáp án)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x2+ 4x – y2+ 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x3+ 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)

b) x2+ 5x -6 = x2 + 6x - x - 6

= x(x + 6) - (x + 6)

= (x + 6)(x - 1)

c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 - 8a2

= (a2 + 4)2 - (a)2

= (a2 + 4 +a)( a2 + 4 - a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x5+ x3+ x2 + 1):(x3 + 1)

b) (x2-5x + 6):(x - 3)

Giải:

a) Vì x5+ x3+ x2 + 1

= x3(x2 + 1) + x2 + 1

= (x2 + 1)(x3 + 1)

nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)

b)Vì x2 - 5x + 6

= x2 - 3x - 2x + 6

= x(x - 3) - 2(x - 3)

= (x - 3)(x - 2)

nên (x2 - 5x + 6):(x - 3)

= (x - 3)(x - 2): (x - 3)

= (x - 2)

Bài 5 

Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a)\ (x^5+x^3+x^2+1):(x^3+1)

b)\ (x^2-5x+6):(x-3)

Giải:

a)\ Vì\ x^5+x^3+x^2+1=x^3(x^2+1)+x^2+1=(x^2+1)(x^3+1)

nên (x^5+x^3+x^2+1):(x^3+1)=(x^2+1)(x^3+1):(x^3+1)=(x^2+1)

b)\ Vì\ x^2-5x+6=x^2-3x-2x+6=x(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x-2)

nên (x^2-5x+6):(x-3)=(x-3)(x-2):(x-3)=(x-2)

Bài 6

a)\ y^4+64=y^4+16y^2+64-16y^2

=(y^2+8)^2-(4y)^2

=(y^2+8-4y)(y^2+8+4y)

b)\ x^2+4=x^2+4x+4-4x

=(x+2)^2-4x=(x+2)^2-(2\sqrt{x})^2

=(x-2\sqrt{x}+2)(x+2\sqrt{x}+2)

Bài 7' Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử:

a. {x^2} - 7x + 6

b. {x^2} - 3x - 10

c. 2{x^2} + 5x - 3

d. 6{x^2} + x - 7

Gợi ý đáp án

a. Ta có:

\begin{matrix}
  {x^2} - 7x + 6 \hfill \\
   = {x^2} - x - 6x + 6 \hfill \\
   = x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) \hfill \\
   = \left( {x - 6} \right)\left( {x - 1} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

b. Ta có:

\begin{matrix}  {x^2} - 3x - 10 \hfill \\   = {x^2} + 2x - 5x - 10 \hfill \\   = x\left( {x + 2} \right) - 5\left( {x + 2} \right) \hfill \\   = \left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right) \hfill \\ \end{matrix}

c. Ta có:

\begin{matrix}
  2{x^2} + 5x - 3 \hfill \\
   = 2{x^2} + 6x - x - 3 \hfill \\
   = 2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right) \hfill \\
   = \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

d. Ta có:

\begin{matrix}
  6{x^2} + x - 7 \hfill \\
   = 6{x^2} - 6x + 7x - 7 \hfill \\
   = 6x\left( {x - 1} \right) + 7\left( {x - 1} \right) \hfill \\
   = \left( {6x + 7} \right)\left( {x - 1} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Bài 8: Đa thức 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( 2y + z )( 4x + 7y )
B. ( 2y - z )( 4x - 7y )
C. ( 2y + z )( 4x - 7y )
D. ( 2y - z )( 4x + 7y )

Lời giải:

Ta có 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) = 4x( 2y - z ) - 7y( 2y - z ) = ( 2y - z )( 4x - 7y ).

Chọn đáp án B.

Bài 9: Đa thức x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )
B. ( x3 - 1 )( x2 - 1 )
C. ( x - 1 )( x + 1 )( x2 + x + 1 )
D. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )

Lời giải:

Ta có x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) = ( x2 - 1 )( x3 - 1 ) = ( x - 1 )( x + 1 )( x - 1 )( x2 + x + 1 )

= ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )

Chọn đáp án D.

Sai lầm: Nhiều em học sinh mắc phải sai lầm là nhóm nhân tử ( x2 - 1 )( x3 - 1 ) mà không nhận ra trong hai đa thức ( x2 - 1 ) và ( x3 - 1 ) có nhân tử chung là ( x - 1 ) để đặt làm nhân tử chung. Dẫn đến nhiều em sẽ chọn đáp án B.

Bài 10 Tính giá trị của biểu thức A = x2 - y2 + 2y - 1 với x=3 và y=1.

A. A = - 9.
B. A = 0.
C. A = 9.
D. A = - 1.

Lời giải:

Ta có A = x2 - y2 + 2y - 1 = x2 - ( y2 - 2y + 1 )

= x2 - ( y - 1 )2 = ( x - y + 1 )( x + y - 1 ) (hằng đẳng thức a2 - b2 = ( a - b )( a + b ) ).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = ( 3 - 1 + 1 )( 3 + 1 - 1 ) = 3.3 = 9.

Chọn đáp án C.

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x2 + y3 + xy

A. (x + y).(x2 - xy + y2 + x)
B. (x - y).(x2 + xy + y2 - x)
C. (x + y).(x2 + xy + y2 - x)
D. (x - y).(x2 + xy - y2 + x)

Lời giải:

Ta có: x3 + x2 + y3 + xy = (x3 + y3) + (x2 + xy)

= (x + y). (x2 – xy + y2) + x.(x + y)

= (x + y). (x2 - xy + y2 + x)

Chọn đáp án A

Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 9x + 2x2y + xy2

A. x. (x - y + 3).(x + y - 3)
B. x. (x + y + 3).(x + y - 3)
C. x. (x - y + 3).(x - y - 1)
D. x. (x + y + 1).(x - y - 3)

Lời giải:

Ta có: x3 – 9x + 2x2y + xy2

= x.(x2 – 9 + 2xy + y2)

= x.[(x2 + 2xy + y2) – 9]

= x.[(x + y)2 – 32]

= x.(x + y + 3).(x + y - 3)

Chọn đáp án B

Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + 4x

A. x.(x2 + 2 ).(x2 - 2).
B. x.(x2 + 2 + x).(x2 + 2- x).
C. x.(x2 + 2 + 2x).(x2 + 2 - 2x).
D. x.(x4 + 4)

Lời giải:

Ta có:

x5 + 4x = x.(x4 + 4)

= x.[(x4 + 4x2 + 4) - 4x2].

= x.[(x2 + 2)2 - (2x)2].

= x.(x2 + 2 + 2x).(x2 + 2 - 2x).

Chọn đáp án C

IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2- y2 - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x2 - xy

c) 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2

d) x2 - 25 + y2 + 2xy

e) a2+ 2ab + b2 - ac - bc

f) x2 - 2x - 4y2 - 4y

g) x2y - x3- 9y + 9x

h) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x2 – 4x

3) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y

4) x2 – xy + x – y

5) ax – bx – a2 + 2ab – b2 \

6) x2 + 4x – y2 + 4

7) x3 – x2 – x + 1

8) x4 + 6x2y + 9y2 - 1

9) x3 + x2y – 4x – 4y

10) x3 – 3x2 + 1 – 3x

11) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2

12) x2 – 2x – 15

13) 2x2 + 3x – 5

14) 2x2 – 18

15) x2 – 7xy + 10y2

16) x3 – 2x2 + x – xy2

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x2+ 2xy – 8y2+ 2xz + 14yz – 3z2

2. 3x2– 22xy – 4x + 8y + 7y2+ 1

3. 12x2+ 5x – 12y2+ 12y – 10xy – 3

4. 2x2– 7xy + 3y2+ 5xz – 5yz + 2z2

5. x2+ 3xy + 2y2+ 3xz + 5yz + 2z2

6. x2– 8xy + 15y2+ 2x – 4y – 3

7. x4– 13x2+ 36

8. x4+ 3x2– 2x + 3

9. x4+ 2x3+ 3x2 + 2x + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)3+ (b – c)3+ (c – a)3

2. (a – x)y3– (a – y)x3– (x – y)a3

3. x(y2– z2) + y(z2– x2) + z(x2 – y2)

4. (x + y + z)3– x3– y3 – z3

5. 3x5– 10x4– 8x3 – 3x2 + 10x + 8

6. 5x4+ 24x3– 15x2 – 118x + 24

7. 15x3+ 29x2– 8x – 12

8. x4– 6x3+ 7x2 + 6x – 8

9. x3+ 9x2+ 26x + 24

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b2– c2) + b(a + c)(a2– c2) + c(a + b)(a2 – b2)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b2– c2) – b(a2– c2) + c(a2 – b2)

4. (x – y)5+ (y – z)5+ (z – x)5

5. (x + y)7– x7– y7

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)5– x5– y5 – z5

8. a(b2+ c2) + b(c2+ a2) + c(a2 + b2) + 2abc

9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x2+ x)2+ 4x2 + 4x – 12

2. (x2+ 4x + 8)2+ 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

3. (x2+ x + 1)(x2+ x + 2) – 12

4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x2+ 2x)2+ 9x2 + 18x + 20

6. x2– 4xy + 4y2– 2x + 4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8. (x2+ x)2+ 4(x2 + x) – 12

9. 4(x2+ 15x + 50)(x2+ 18x + 72) – 3x2

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.

16x3y + 0,25yz3

21.

(a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2

2.

x 4 – 4x3 + 4x2

22.

4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2

3.

2ab2 – a2b – b3

23.

a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2

4.

a 3 + a2b – ab2 – b3

24.

a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)

5.

x 3 + x2 – 4x - 4

25.

a 6 – a4 + 2a3 + 2a2

6.

x 3 – x2 – x + 1

26.

(a + b)3 – (a – b)3

7.

x 4 + x3 + x2 - 1

27.

X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3

8.

x 2y2 + 1 – x2 – y2

28.

X m + 4 + xm + 3 – x - 1

10.

x 4 – x2 + 2x - 1

29.

(x + y)3 – x3 – y3

11.

3a – 3b + a2 – 2ab + b2

30.

(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

12.

a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1

31.

(b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3

13.

a 2 – b2 – 4a + 4b

32.

x3 + y3+ z3 – 3xyz

14.

a 3 – b3 – 3a + 3b

33.

(x + y)5 – x5 – y5

15.

x 3 + 3x2 – 3x - 1

34.

(x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3

16.

x 3 – 3x2 – 3x + 1

35.

x3 – 5x2y – 14xy2

17.

x 3 – 4x2 + 4x - 1

36.

x4 – 7x2 + 1

18.

4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2

37.

4x4 – 12x2 + 1

19.

(xy + 4)2 – (2x + 2y)2

38.

x2 + 8x + 7

20.

(a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2

39.

x3 – 5x2 – 14x

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.

x4y4 + 4

6

x7 + x2 + 1

2.

x4y4 + 64

7

x8 + x + 1

3.

4 x4y4 + 1

8

x8 + x7 + 1

4.

32x4 + 1

9

x8 + 3x4 + 1

5.

x4 + 4y4

10

x10 + x5 + 1

Bài tập 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 30

b) 4x4 - 8x3 + 3x2 - 8x + 4

c) 2x4 - 15x3 + 35x2 - 30x + 8

d) 2x3 - x2 + 5x + 3

Bài tập 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. 5{x^2}{y^2} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}

b. 12{x^2}y - 18x{y^2} - 30{y^2}

Bài tập 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. 6{x^2} - 11x + 3

b. 2{x^2} + 3x - 27

c. 2{x^2} - 5xy - 3{y^2}

d. {x^3} + 2x - 3

e. {x^3} - 7x + 6

f. {x^3} + 5{x^2} + 8x + 4

g. {x^3} - 9{x^2} + 6x + 16

h. {x^3} + {x^2} - x + 2

Bài tập 4: Dùng phương pháp tách hạng tử và thêm bớt cùng hạng tử phân tích các đa thức dưới đây thành nhân tử:

a) 4x2 + 16x - 9b) -5x2 - 29x - 20
c) x2 + 2x - 3d) 3x2 - 11x + 6
e) 6x2 + 7x + 2f) x2 - 6x + 8
g) 9x2 + 6x - 8h) 3x2 - 8x + 4
Chia sẻ bởi: 👨 Trịnh Thị Thanh
64
  • Lượt tải: 9.417
  • Lượt xem: 109.998
  • Dung lượng: 821,7 KB
Liên kết tải về
3 Bình luận
Sắp xếp theo
  • thê hưng lê
    thê hưng lê

    đáp án ở đâu v ạ 

    Thích Phản hồi 15:55 26/11
    • Trịnh Thị Thanh
      Trịnh Thị Thanh

      Tài liệu chỉ có 1 số bài tập có đáp án. Còn đâu là tự luyện bạn nhé

      Thích Phản hồi 08:05 27/11
  • Châu Vũ
    Châu Vũ

    có đáp án ko bạn

    Thích Phản hồi 10:04 08/07
    • Trịnh Thị Thanh
      Trịnh Thị Thanh

      Bài tập có 2 phần. 1 phần có đáp án và 1 phần tự luyện bạn ah.

      Thích Phản hồi 15:05 08/07
  • Bạn Ơi Ôi
    Bạn Ơi Ôi

    cái này của chuong trình cũ phải không?

    Thích Phản hồi 13:41 07/07
    • Trịnh Thị Thanh
      Trịnh Thị Thanh

      Bài tập này dùng cho cả chương trình SGK mới bạn ah.

      Thích Phản hồi 13:59 07/07